級數(shù)斂散性判定方法的研究[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　級數(shù)斂散性判定方法的研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：級數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)及進行數(shù)值計算的有力工具，并且在其他學

3、科以及生活中的應(yīng)用也很廣泛，但是對于數(shù)項級數(shù)的斂散性的判定較難.因此本文的重點是綜述級數(shù)斂散性的判定方法，主要有Kummer判別法，奇偶項判別法，階估計判別法等。</p><p>　　關(guān)鍵詞：級數(shù)；斂散性；判定法</p><p>　　The Study on the Judgment of Convergence </p><p>　　and Divergence

4、of Series</p><p>　　Abstract: Series is used for researching the functions’ properties, and is good for number calculation, and series is widely used in other disciplines and our life. Whereas, it’s difficult

5、 to judge the convergence and divergence of series, so, this article focus on the summarizing the judgments of the convergence and divergence of series. Mainly has the Kummer Judgment, the Parity Judgment, the Oder Estim

6、ates Judgment, and so on.</p><p>　　Key words: Series; Convergence; Judgment</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引 言1</b></p><p>　　2 級數(shù)的概念及相關(guān)性

7、質(zhì)1</p><p>　　3 數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法及其應(yīng)用3</p><p>　　3.1 P級數(shù)判別法3</p><p>　　3.2 Kummer判別法5</p><p>　　3.3 一類正項級數(shù)收斂判斷的推廣7</p><p>　　3.4 奇偶項判別法8</p><p>

8、;　　3.5 優(yōu)拉高判別法11</p><p>　　3.6 達朗貝爾、拉貝、對數(shù)、比值判別法的推廣14</p><p>　　3.7 階估計判別法18</p><p>　　3.8 一般項級數(shù)的斂散性判別法20</p><p>　　3.9 數(shù)項級數(shù)斂散性判別的一些技巧22</p><p>　　3.9.1

9、 利用不等式法22</p><p>　　3.9.2 利用泰勒展式法22</p><p>　　3.9.3 拆項法23</p><p>　　4 函數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法23</p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻25</b></p

10、><p><b>　　1 引 言</b></p><p>　　級數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)及進行數(shù)值計算的有力工具，并且在其他學科以及生活中的應(yīng)用也很廣泛，但是對于級數(shù)的斂散性的判定較難.因此本文重點對數(shù)項級數(shù)的斂散性進行討論.</p><p>　　人們很早以前其實就已經(jīng)接觸到無窮級數(shù)了.在中國古代的《莊子??天下》中所說的“莊子切棒”問題：“一尺之錘，

11、日取一半，萬世不竭”中所含有的極限思想，用數(shù)學形式表達出來就是無窮級數(shù).雖然在古希臘的數(shù)學中出現(xiàn)了無窮級數(shù)，但是由于希臘人懼怕無窮，因此總是用有限和代替無窮和，近代數(shù)學正是在突破這種禁忌的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.芝諾(Zeno of Elea)的二分法涉及了把1分解成無窮級數(shù)的形式.亞里士多德(Aristotle)也認為這種無窮級數(shù)的和存在，因為這是公比小于1的幾何級數(shù).阿基米德(Archimedes)在他的《拋物線圖形求積法》一書中，用幾何

12、級數(shù)求出了拋物線的弓形面積.在十五、十六世紀，對無窮級數(shù)的研究以休賽特和奧雷姆的方式進行，即認為幾何級數(shù)有兩種可能性，當公比大于1時，無窮幾何級數(shù)的和是無窮；當公比小于1時，無窮級數(shù)的和是有限的.但是由于局限于文字敘述和幾何方法，因此沒取得重大進展.盡管如此，中世紀的這種承認無限的思潮仍舊為十七世紀關(guān)于無窮級數(shù)與無限過程的重要工作開辟了道路.</p><p>　　2 級數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)</p>

13、<p>　　定義1 給定一個數(shù)列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式</p><p>　　稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（也常簡稱級數(shù)），其中，稱為數(shù)項級數(shù)的通項.</p><p>　　數(shù)項級數(shù)也通常寫作：，或簡單寫作.</p><p>　　數(shù)項級數(shù)的前項和，記為</p><p>　　定義2 給定一個定義在數(shù)集上的函數(shù)列，表達式<

14、;/p><p>　　稱為定義在上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為或.稱</p><p>　　為函數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列.</p><p>　　定義3 若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項級數(shù)收斂，稱為數(shù)項級數(shù)的和，記為</p><p><b>　　或.</b></p><p>　　若發(fā)散，則稱數(shù)項級數(shù)是發(fā)

15、散的.</p><p>　　定義4 若，數(shù)項級數(shù)</p><p>　　收斂，即當時部分和的極限存在，則稱級數(shù)在點收斂，稱為級數(shù)的收斂點.若級數(shù)發(fā)散，則稱級數(shù)在點發(fā)散.若級數(shù)在的某個子集上每點都收斂，則稱級數(shù)在上收斂.級數(shù)在上每一點與其所對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)的和構(gòu)成一個定義在上的函數(shù)，稱為級數(shù)的和函數(shù)，并寫作</p><p><b>　　即</b>&l

16、t;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　由此可見，函數(shù)項級數(shù)的收斂性等價于它的部分和函數(shù)列的收斂性.</p><p>　　性質(zhì)1 設(shè)級數(shù)與都收斂，且其和分別為與，則</p><p>　?。?），級數(shù)也收斂，且有</p><p><b>　?。?lt;/b><

17、/p><p><b>　?。?）若，則.</b></p><p>　　性質(zhì)2 在一個級數(shù)中，任意刪去、添加或改變有限項，該級數(shù)的斂散性不變.</p><p>　　性質(zhì)3 設(shè)級數(shù)收斂，則必有.</p><p>　　但是不是級數(shù)收斂的充分條件，如調(diào)和級數(shù).</p><p>　　3 數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法

18、及其應(yīng)用</p><p>　　目前，比較為我們所熟悉的判定級數(shù)斂散性的方法主要有定義法、柯西（Cauchy）法、比較法、比式法、根式法以及利用性質(zhì)來判定等等，然而，以上各種方法在不同程度上都有著各自的局限性，無法得到很廣泛的應(yīng)用，為了彌補上述不足，本文通過查閱各種資料，特整理出了一些比較新的級數(shù)斂散性的判別法，下面逐一介紹.</p><p>　　3.1 P級數(shù)判別法</p>

19、<p>　　級數(shù)判別法是通過建立正項級數(shù)與級數(shù)之間的一種關(guān)系，由級數(shù)的斂散性來判斷該正項級數(shù)的斂散性的方法.</p><p>　　級數(shù)判別法1 設(shè)為一正項級數(shù)，為級數(shù)，</p><p>　　1.，當時，，則當時，正項級數(shù)收斂.</p><p>　　2. ，當時，，則當時，正項級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　級數(shù)判別法2 設(shè)為一

20、正項級數(shù)，為級數(shù)，且，則</p><p>　　1.當且時，正項級數(shù)收斂.</p><p>　　2.當且時，正項級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　級數(shù)判別法3 設(shè)為一正項級數(shù)，為級數(shù)，且，若當時，，則當時，正項級數(shù)收斂.</p><p>　　級數(shù)判別法4 設(shè)為一正項級數(shù)，為級數(shù)，且，若當時，，則正項級數(shù)與級數(shù)同時收斂同時發(fā)散.</p&g

21、t;<p>　　級數(shù)判別法5 設(shè)為一正項級數(shù)，為級數(shù)，且，若當時，，則正項級數(shù)與級數(shù)同時收斂同時發(fā)散.</p><p>　　級數(shù)判別法5實際是級數(shù)判別法4的推廣.</p><p>　　利用上述五個判別法我們可以對下列級數(shù)的斂散性進行判斷.</p><p>　　例1 試用級數(shù)判別法來判斷級數(shù)的斂散性.</p><p><

22、b>　　解：, </b></p><p><b>　　而當時，，且，</b></p><p>　　由級數(shù)判別法3可知，級數(shù)是收斂的.</p><p>　　例2 試用級數(shù)判別法來判斷級數(shù)的斂散性.</p><p>　　解：法1 為一正項級數(shù)，</p><p><b>

23、　　，，且，</b></p><p>　　由級數(shù)判別法2知，級數(shù)收斂.</p><p>　　法2 為一正項級數(shù)，</p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　由級數(shù)判別法1知，級數(shù)收斂.</p><p>　　例3 試用級數(shù)判別法來判斷級數(shù)的斂散性.</p&

24、gt;<p>　　解：由于，因此，由級數(shù)判別法5知，原級數(shù)是發(fā)散的.</p><p>　　3.2 Kummer判別法</p><p>　　我們以已經(jīng)知道比式判別法和根式判別法是對正項級數(shù)斂散性進行判別的兩種較為常用的方法，但是如果正項級數(shù)的通項收斂于零的速度較某一幾何級數(shù)的通項收斂于零的速度慢，那么這兩種方法將會失靈，而Kummer判別法就是為了解決這一難題而產(chǎn)生的.<

25、;/p><p>　　Kummer判別法1 設(shè)，，，且存在某自然數(shù)及常數(shù)，</p><p>　　1.當時，有，級數(shù)收斂.</p><p>　　2.當時，有，且，則級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　在Kummer判別法1的基礎(chǔ)上可得到Kummer判別法2.</p><p>　　Kummer判別法2 設(shè)為正項級數(shù)，且存在某自然

26、數(shù)及正數(shù)，</p><p>　　1.當時，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　2.當時，成立不等式，則級數(shù)收斂.</p><p>　　在Kummer判別法2的基礎(chǔ)上可得到下面著名的拉貝（Raabe）判別法.</p><p>　　拉貝（Raabe）判別法 設(shè)為正項級數(shù)，且存在某自然數(shù)及常數(shù)，</p><p>

27、　　1.當時，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　2.當時，成立不等式，則級數(shù)收斂.</p><p>　　其中，Kummer判別法1雖是比Raabe判別法和比式判別法更廣泛更一般的判別法，但是由于它的過程是無限的，因而具有一定的局限性.</p><p>　　例4 用Kummer判別法判斷級數(shù)在時的斂散性.</p><p>　　解：

28、若用比式判別法，則對于，都有，所以無法用比式判別法來判別原級數(shù)的斂散性.下用Raabe判別法.</p><p><b>　　1.當時，，，</b></p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以原級數(shù)在時發(fā)散.<

29、/p><p><b>　　2.當時，，，則，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以原級數(shù)在時收斂.</p><p>　　3.3 一類正項級數(shù)收斂判斷的推廣</p><p>　　這部分內(nèi)容主要從一類正項級數(shù)與之間的收斂的關(guān)系出發(fā)，得出一些新的正

30、項級數(shù)斂散性判別法.</p><p>　　推廣法1 若，則收斂的充要條件為如下級數(shù)收斂.</p><p>　　推廣法2 若正項級數(shù)收斂，那么正項級數(shù)收斂.</p><p>　　例5 判定正項級數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：為正項級數(shù)，，</b></p><p><b&g

31、t;　　為收斂的正項級數(shù)，</b></p><p>　　由推廣法2可知，正項級數(shù)收斂.</p><p>　　3.4 奇偶項判別法</p><p>　　一般而言，利用傳統(tǒng)的比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法和高斯判別法等來判斷級數(shù)和的斂散性都顯得異常困難，由此，下面給出了幾個新的判別法來解決這項難題.主要是利用偶數(shù)項、奇數(shù)項與一般項的關(guān)系：</

32、p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　來實現(xiàn).</b></p><p>　　奇偶項判別法1 如果對于充分大的，，，，且，那么級數(shù)收斂.</p><p>　　奇偶項判別法2 如果對于充分大的，，，，且，那么級數(shù)發(fā)散，其中.</p><p>　　奇偶項判

33、別法3（極限形式） 設(shè)，（可為），（可為），</p><p><b>　　1.若，則收斂；</b></p><p><b>　　2.若，則發(fā)散；</b></p><p>　　3.若，則可能收斂也可能發(fā)散.</p><p>　　奇偶項判別法3實際是奇偶項判別法2的極限形式.</p>&

34、lt;p>　　例6 試判斷級數(shù)的斂散性.</p><p>　　解：由斯特林公式：，得</p><p><b>　　同理可得</b></p><p><b>　　從而有：</b></p><p>　　（1）當時，，此時級數(shù)收斂；</p><p>　　（2）當時，，此時級

35、數(shù)發(fā)散；</p><p>　　（3）當時，，此時級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例7 試判斷級數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　從而得到：</b></p><p>　　（1）當時，，此時級數(shù)收斂；</p>&l

36、t;p>　?。?）當時，，若，則，此時級數(shù)發(fā)散；若，則，此時級數(shù)發(fā)散；若，則，此時級數(shù)收斂：</p><p>　?。?）當時，，此時級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　3.5 優(yōu)拉高判別法</p><p>　　我們知道，對于判別正項級數(shù)斂散性的拉貝判別法和高斯判別法是建立在數(shù)列單調(diào)，且當時，有一定的漸進式的基礎(chǔ)上的，如果破壞了這種單調(diào)性，那么這兩種判別法將無效.

37、基于此，下面給出的判別法將克服上述不足，并稱這類判別法為優(yōu)拉高判別法.</p><p>　　判別法1 對于正項級數(shù)，如果，那么</p><p><b>　　.</b></p><p>　　判別法2 對于正項級數(shù)，如果存在常數(shù)及，當時，有</p><p><b>　　則級數(shù)收斂；</b></

38、p><p>　　如果存在，使得當時，有</p><p><b>　　則級數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　當時，判別法2的極限形式不能判定級數(shù)的斂散性，于是有了判別法3.</p><p>　　判別法3 對于正項級數(shù)，如果存在常數(shù)及，當時，有</p><p><b>　　，</b&

39、gt;</p><p><b>　　則級數(shù)收斂；</b></p><p>　　如果存在，使得當時，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則級數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　判別法4 對于正項級數(shù)，如果</p

40、><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則當時，級數(shù)收斂；</b></p><p><b>　　當時，級數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　判別法4是判別法3的極限形式.</p><p>　　例8 試判斷級數(shù)的斂散性，其中為不超過的

41、素數(shù)個數(shù).</p><p><b>　　解：，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由由優(yōu)拉高判別法2的極限形式知，當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)發(fā)散.當時，令</p><p>　　下證當充分大后，有.</p><p><b>　　不妨設(shè)

42、，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以當充分大以后，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　由優(yōu)拉高判別法2知，級數(shù)發(fā)散，從而級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　3.6 達朗貝爾、拉貝、對數(shù)、比值判別法

43、的推廣</p><p>　　除上述判斷級數(shù)斂散性的方法外，我們還有下述方法.</p><p>　　達朗貝爾判別法的推廣 對于正項級數(shù)，若存在某一正整數(shù)，有</p><p>　　那么：1.當時，級數(shù)收斂；</p><p>　　2.當時，級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例9 判斷級數(shù)的斂散性.</p>&

44、lt;p><b>　　解：令，由于，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因而原級數(shù)收斂.</b></p><p>　　當時，上述定理即為達朗貝爾判別法.</p><p>　　拉貝判別法的推廣 對于正項級數(shù)，若存在某一非負整數(shù)，

45、有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則，1.當時，級數(shù)收斂；</p><p>　　2.當時，級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例10 判斷級數(shù)的斂散性.</p><p>　　解：為一正項級數(shù)，令，則</p><p><b>　　，<

46、;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　級數(shù)收斂.</b></p><p>　　接著看對數(shù)判別法的推廣形式.</p><p>　　對數(shù)判別法的推廣 對于正項級數(shù)，若存在某一非負整數(shù)，有</p><p><b>　　，&l

47、t;/b></p><p>　　則，1.當或時，級數(shù)收斂；</p><p>　　2.當時，級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例11 判別級數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：令，</b></p><p><b>　　對，使得當時，，</b></p>

48、<p><b>　　因此原級數(shù)收斂.</b></p><p>　　比值判別法的推廣 設(shè)為正項級數(shù)，單調(diào)遞減，為滿足且單調(diào)遞增的整系數(shù)多項式，如果</p><p>　?。?）存在上的單調(diào)遞減的連續(xù)可微函數(shù)，有</p><p><b>　　，使得為單調(diào)函數(shù)；</b></p><p>&l

49、t;b>　?。?），</b></p><p>　　則，1.當時，級數(shù)收斂；</p><p>　　2.當時，級數(shù)發(fā)散；</p><p>　　3.當時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.</p><p>　　例12 判斷級數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：令，</b></

50、p><p><b>　　在滿足：</b></p><p>　?。?）單調(diào)遞減；（2）連續(xù)可微；（3）,</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　且，</b></p><p><b>　　從而級數(shù)發(fā)散.</b&g

51、t;</p><p>　　3.7 階估計判別法</p><p>　　階估計法是指通過估計級數(shù)的通項的階，來簡化級數(shù)的斂散性的判定法，它可以不受級數(shù)的通項的繁瑣程度的影響，從而為級數(shù)斂散性的判定提供了一種比較簡便的方法.下面來認識一下這種方法.</p><p>　　階估計判別法1 設(shè)正項級數(shù)，</p><p>　　（1）如果，則級數(shù)收斂；&

52、lt;/p><p>　?。?）如果，則級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　階估計判別法2 設(shè)為非負數(shù)，則</p><p>　?。?）當時，級數(shù)與斂散性一致；</p><p>　?。?）當時，如果收斂，那么收斂；</p><p>　?。?）當時，如果發(fā)散，那么發(fā)散.</p><p>　　例13 用階估

53、計法來判斷級數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：，</b></p><p>　　級數(shù)與級數(shù)具有相同的斂散性，后者為級數(shù)，且此時，知其發(fā)散，從而級數(shù)也發(fā)散.</p><p>　　例14 用階估計法判斷正項級數(shù)級數(shù)的斂散性.已知對任意自然數(shù)，有</p><p><b>　　.</b><

54、/p><p><b>　　解：</b></p><p>　　當時，即時，級數(shù)收斂；</p><p>　　當時，即時，級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　以上介紹的是正項級數(shù)的斂散性判別法，對于一般項級數(shù)的斂散性，我們將討論以下方法：</p><p>　　3.8 一般項級數(shù)的斂散性判別法</p>

55、;<p>　　對于任意的數(shù)項級數(shù)，若對它的項進行某種重組，級數(shù)的斂散性會收到一定的影響.請看下面的判別法：</p><p>　　重組判別法1 當不改變級數(shù)項的排序，只對級數(shù)的項加括號來進行重組，那么：</p><p>　　1.若原級數(shù)是收斂的，則重組后的級數(shù)也是收斂的，并且它的和不變.</p><p>　　2.若原級數(shù)的斂散性是未知的，則重組后的級數(shù)

56、即使是收斂的，原級數(shù)的斂散性仍不能確定.</p><p>　　3.若重組后的級數(shù)是發(fā)散的，則原來的級數(shù)一定是發(fā)散的.</p><p>　　重組判別法2 當改變級數(shù)項的順序?qū)ζ溥M行重新組合，將所得的新級數(shù)稱為原級數(shù)的更序級數(shù)，那么：</p><p>　　1.若原級數(shù)是絕對收斂的，那么其更序級數(shù)仍然是絕對收斂的，并且和不變.</p><p>　

57、　2.若原級數(shù)是條件收斂的，那么其更序級數(shù)的斂散性不能判斷，不同的重組，收斂其和一般也是不同的.</p><p>　　3.若級數(shù)是條件收斂的，則總是可以適當更換原來的次序而組成一個級數(shù)，使此更序級數(shù)可以收斂于任何預(yù)先給定的數(shù)（包括的情形）.</p><p>　　綜上所述，對于絕對收斂的級數(shù)，任意對其項進行重組不改變級數(shù)的斂散性及和；對于非絕對收斂的級數(shù)，情況會復(fù)雜很多，對于條件收斂的級數(shù)，

58、總可以通過對其項進行適當重組（更序）而使其變?yōu)榘l(fā)散級數(shù)，而對于某些發(fā)散的級數(shù)，通過適當?shù)闹亟M又可以使其變?yōu)槭諗考墧?shù).</p><p>　　例15 判斷級數(shù)的斂散性</p><p>　　解：不改變原級數(shù)的項的順序，只對其項加括號，得到的新級數(shù)如下：</p><p><b>　　而，</b></p><p><b&g

59、t;　　且發(fā)散，</b></p><p><b>　　因而發(fā)散，</b></p><p>　　由重組判別法1可知，原級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例16 已知級數(shù)是收斂于的，其一更序級數(shù)</p><p>　　也是收斂，現(xiàn)求此更序級數(shù)的和.</p><p><b>　　解：

60、</b></p><p><b>　　，得：</b></p><p><b>　　從而級數(shù)的和為.</b></p><p>　　3.9 數(shù)項級數(shù)斂散性判別的一些技巧</p><p>　　數(shù)項級數(shù)斂散性的判別方法多樣，技巧性也很強，往往需要多種方法結(jié)合使用，常用到的方法有不等式法、導數(shù)法

61、、定積分法、泰勒公式法、洛比達法則等，下面將介紹其中幾種.</p><p>　　3.9.1 利用不等式法</p><p>　　在利用不等式來判別級數(shù)的斂散性過程中，經(jīng)常要用到的不等式有：</p><p><b>　　1. </b></p><p><b>　　2. </b></p>

62、<p><b>　　3. </b></p><p><b>　　4. </b></p><p>　　例17 判別級數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：由不等式，知</b></p><p><b>　　，</b></p&g

63、t;<p>　　而收斂，因此級數(shù)收斂.</p><p>　　3.9.2 利用泰勒展式法</p><p>　　例18 利用泰勒展式判別級數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：由于</b></p><p>　　則原級數(shù)與有相同的斂散性，</p><p>　　而發(fā)散，所以原級數(shù)

64、也發(fā)散.</p><p>　　3.9.3 拆項法</p><p>　　將一般項用等價變形、有理化、三角基本公式等拆成幾項之差也是一種常用方法.</p><p>　　例19 判別級數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：由于</b></p><p><b>　　而，</b&

65、gt;</p><p><b>　　所以收斂；</b></p><p>　　而，當時，收斂；當時，發(fā)散.</p><p>　　從而，原級數(shù)當時，收斂，當時，發(fā)散.</p><p>　　4 函數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法</p><p>　　對于函數(shù)項級數(shù)的斂散性判別，則主要是討論其一致收斂性，判別方法

66、有Cauchy準則，比較法，Dirichlet判別法，Abel判別法，余項準則等，下面只用例子來簡要闡述.</p><p>　　例20 斷級數(shù)的連散性.</p><p>　　解：（1）的部分和有界，且一致有界，</p><p><b>　?。?），單調(diào)遞減，</b></p><p><b>　　（3），<

67、;/b></p><p><b>　　，當時，，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　在上一致收斂于.</b></p><p>　　綜上所述，由Dirichlet判別法知，原級數(shù)是一致收斂的.</p><p&g

68、t;<b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 王綿森，馬知恩. 一元函數(shù)微積分與無窮級數(shù)[M].北京：高等教育出版社.2004：227-237．</p><p>　　[2] Walter　Rudin．Principles of Mathematical　Analysis[M]．北京：機械工業(yè)出版社．2004：143-152．</p>&l

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73、t;/p><p>　　[15] 劉啟年．無窮級數(shù)比值判別法的推廣[J]．荊州師范學院學報．2001，（2）：25-26.</p><p>　　[16] 王靜，譚康，任秀娟．判別數(shù)項級數(shù)斂散性的一些方法和技巧[J]．高等數(shù)學研究．2010，（3）：33-34．</p><p>　　[17] Antoni Zygmund. Trigonometric Series[M].