利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和的方法【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和的方法</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)

2、學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：數(shù)列是數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，很多事物的一些關(guān)系可以運(yùn)用

3、數(shù)列來(lái)表示，而數(shù)列求和是其很重要的內(nèi)容之一。數(shù)列求和的方法有很多：公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、通項(xiàng)化歸、并項(xiàng)求和等等。但不是所有的數(shù)列都可以利用以上方法進(jìn)行求和，因此我們就需要去尋找新的方法。這時(shí)，我們可以引入傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)對(duì)某些數(shù)列進(jìn)行求和。傅里葉級(jí)數(shù)是一種特殊的三角級(jí)數(shù)，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問(wèn)題時(shí)提出的。有了傅里葉級(jí)數(shù)，就可以在這個(gè)方向上對(duì)一類數(shù)列求和進(jìn)行探討。本文

4、具體介紹了傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，用豐富的例子歸納總結(jié)了需要用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行求和的數(shù)列類型。</p><p>　　關(guān)鍵詞：傅里葉級(jí)數(shù)；數(shù)列；求和</p><p>　　The Method of Sequence Summation by Fourier Series</p><p>　　Abstract: Sequence is very important in m

5、athematics. There are many relations between objects expressed by sequences. Summation is one of the very important content. There exist many methods to get the summation of sequence. For example, formula method, disloca

6、tion phase subtraction, adding method in reverse chronological order, grouping law, crack study method, mathematical induction, general term turning, add item summation, etc. But we find that not all sequence summation s

7、olved by these meth</p><p>　　Key words: Fourier series; sequence; summation</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)概念介

8、紹2</p><p>　　2.1 傅里葉級(jí)數(shù)2</p><p>　　2.1.1 以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)2</p><p>　　2.1.2 以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)4</p><p>　　2.2 偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)5</p><p>　　2.3 函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開式6</p&

9、gt;<p>　　3 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理及其判別法9</p><p>　　3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂定理及其判別法9</p><p>　　3.2 傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理10</p><p>　　3.3 傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判定定理11</p><p>　　3.3.1 Dini判別法11</p><

10、;p>　　3.3.2 Jordan判別法12</p><p>　　3.4 傅里葉級(jí)數(shù)的求和理論12</p><p>　　4 傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用14</p><p>　　4.1 利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和14</p><p>　　4.2 應(yīng)用舉例15</p><p>　　4.2.1

11、類無(wú)窮級(jí)數(shù)和的傅里葉求法15</p><p>　　4.2.2 其他例子17</p><p><b>　　5 總結(jié)21</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　1

12、 引言</b></p><p>　　數(shù)列是數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，很多事物的一些關(guān)系都可以運(yùn)用數(shù)列來(lái)表示，而數(shù)列求和是其很重要的內(nèi)容之一。數(shù)列求和的方法有很多：公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、通項(xiàng)化歸、并項(xiàng)求和等等。然而，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)逐步深化，可以發(fā)現(xiàn)許多數(shù)列運(yùn)用一般的方法已經(jīng)滿足不了求和的需要，因此要求人們?nèi)?gòu)造和探究新的方法。這時(shí)，我們不妨可以引入

13、傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)對(duì)某些數(shù)列求和進(jìn)行探討。傅里葉級(jí)數(shù)是一種特殊的三角級(jí)數(shù)，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問(wèn)題時(shí)提出的。在中國(guó)，程民德最早系統(tǒng)研究過(guò)多元三角函數(shù)級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)，他首先證明多元三角級(jí)數(shù)球形和唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級(jí)數(shù)的里斯-博赫納球形平均的許多特性。有了傅里葉級(jí)數(shù)，我們也就可以在這個(gè)方向上對(duì)一類數(shù)列求和進(jìn)行探討。本文介紹傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)概念、傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理及其判別法、對(duì)數(shù)列求和方法進(jìn)

14、行梳理、歸納，并舉例說(shuō)明，并且以一類最簡(jiǎn)單的數(shù)列為例，對(duì)其在利用傅里葉級(jí)數(shù)求和的計(jì)算方面的應(yīng)用進(jìn)行舉例說(shuō)明。</p><p>　　2 傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)概念介紹 </p><p>　　2.1 傅里葉級(jí)數(shù)</p><p>　　傅里葉級(jí)數(shù)，即Fourier series，定義作：如果一個(gè)給定的非正弦周期函數(shù)滿足狄利克雷條件，它能展開為一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)。</p>

15、;<p>　　2.1.1 以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)</p><p>　　我們現(xiàn)從最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)開始討論，則可以用正弦函數(shù)</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　描述。由（1）所表達(dá)的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中為振幅，為初相角，為角頻率，于是簡(jiǎn)諧震動(dòng)的周期是。較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，則常是幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)&

16、lt;/p><p><b>　　的疊加</b></p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　由于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為，所以函數(shù)（2）的周期為。對(duì)無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行疊加就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)</p><p><b>　?。?）</b></p><p&g

17、t;　　若級(jí)數(shù)（3）收斂，則其所描述的是更為一般的周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)于級(jí)數(shù)（3），我們只討論（如果，可用代換）的情形。由于</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　（3’）</b></p><p><b&

18、gt;　　記，，，，</b></p><p>　　則級(jí)數(shù)（3’）可寫成</p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　它是由三角函數(shù)列（亦稱三角函數(shù)系）</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　所產(chǎn)生的一般形式的三角級(jí)數(shù)。

19、</p><p>　　我們易得，若三角級(jí)數(shù)（4）收斂，那么它的和一定是一個(gè)以為周期的函數(shù)。</p><p>　　定理1 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)（4）在整個(gè)數(shù)軸上絕對(duì)收斂且一致收斂。</p><p>　　而三角函數(shù)（5）中所有函數(shù)具有共同周期，且任何兩個(gè)不相同函數(shù)的乘積在上的積分都等于零，即</p><p><b>　?。?）</

20、b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　而（5）中任何一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分都不等于零，即</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　我們通常把兩個(gè)函數(shù)和在上可積，且的函數(shù)和稱為在上是正交的。由此我們可以說(shuō)三角函數(shù)系（5）在上是具有正交性的

21、，或者說(shuō)（5）是正交函數(shù)系。</p><p>　　我們應(yīng)用三角函數(shù)系（5）的正交性，討論三角級(jí)數(shù)（4）的和函數(shù)與級(jí)數(shù)（4）的系數(shù)，，之間的關(guān)系。</p><p>　　定理2 若在整個(gè)數(shù)軸上</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　且等式右邊級(jí)數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：</p>&

22、lt;p><b>　?。?0a）</b></p><p><b>　?。?0b）</b></p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，若是以為周期且在上可積的函數(shù)，則可按公式（10）計(jì)算出和，它們稱為函數(shù)（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉系數(shù)，以的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)（9）成為（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉級(jí)數(shù)，記作</p><p>&

23、lt;b>　?。?1）</b></p><p>　　其中記號(hào)“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。由定理2知道：若（9）式右邊的三角級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上一致收斂于其和函數(shù)，則此三角級(jí)數(shù)就是的傅里葉級(jí)數(shù)，即此時(shí)（11）式中的記號(hào)“”可換為等號(hào)。然而，若從以為周期且在上可積的函數(shù)出發(fā)，按公式（10）即可求出其傅里葉系數(shù)并得到傅里葉級(jí)數(shù)（11）。[1]</p><p>　　2.1

24、.2 以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)</p><p>　　定義1 設(shè)是以為周期的函數(shù)，通過(guò)變量置換或可以把變換成以為周期的的函數(shù)。若在上可積，則在上也可積，這時(shí)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式是：</p><p>　　， （12）</p><p><b>　　其中</b></p>&l

25、t;p><b>　?。?3）</b></p><p>　　因?yàn)?，所以。于是由?2）和（13）式分別得</p><p><b>　?。?4）</b></p><p><b>　　與</b></p><p><b>　?。?5）</b></p&g

26、t;<p>　　這里（15）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉系數(shù)，（14）式是的傅里葉級(jí)數(shù)。[1]</p><p>　　2.2 偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)</p><p>　　定義2 若是以為周期的偶函數(shù)，或是定義在上的偶函數(shù)，則在上，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。因此，的傅里葉系數(shù)（15）是</p><p><b>　?。?6）</b>&l

27、t;/p><p>　　于是的傅里葉級(jí)數(shù)只含有余弦函數(shù)的項(xiàng)，即</p><p>　　， （17）</p><p>　　其中如（16）式所示。（17）式右邊的級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù)。</p><p>　　同理，若是以為周期的奇函數(shù)，或是定義在上的奇函數(shù)，則可推得</p>&

28、lt;p><b>　?。?8）</b></p><p>　　所以當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，它的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦函數(shù)的項(xiàng)，即</p><p>　　， （19）</p><p>　　其中如（18）式所示。（19）式右邊的級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù)。[1]</p>&l

29、t;p>　　2.3 函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開式</p><p>　　首先，我們給出一個(gè)引理：</p><p>　　引理 設(shè)函數(shù)以為周期，在上分段光滑，那么，也以為周期，且對(duì)任意實(shí)數(shù)有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　我們?cè)O(shè)在相應(yīng)區(qū)間上滿足Dirichlet充分條件。</p>

30、<p>　　定理3 設(shè)函數(shù)在上滿足Dirichlet充分條件，且，則有</p><p><b>　　其中， </b></p><p><b>　　事實(shí)上，作 </b></p><p>　　使在上分段光滑，將在上的作以為周期的延拓,由引理和基本情形易得在上的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為</p><p

31、><b>　　.</b></p><p><b>　　若取，則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理4 設(shè)函數(shù)在上滿足Dirichlet充分條件，且，則公式仍成立。</p><p>　　事實(shí)上，由，則將作以為周期的周期延拓得，在區(qū)間

32、上，除一端點(diǎn)外，，同定理3，有</p><p><b>　　由引理可得：</b></p><p>　　現(xiàn)在給出在任意區(qū)間上的傅里葉級(jí)數(shù)展開式的兩種求法：</p><p>　　方法一 取，不妨設(shè)，</p><p><b>　　由上述討論，有</b></p><p>　　定理5

33、 若在上滿足Dirichlet充分條件，不妨設(shè)，則</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　方法二 取，則，將作以為周期的周期延拓，得，則</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　但一般找出在上的表達(dá)式是不容易的，由引理可得</p>

34、<p>　　定理6 若在任意有限區(qū)間上滿足Dirichlet充分條件，則有</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　以上我們給出的第二種方法是可以適用于任何類型區(qū)間的一般展開公式。[2]</p><p>　　3 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理及其判別法</p><p>　　3.1 函數(shù)

35、項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂定理及其判別法</p><p>　　我們知道，傅里葉級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的一類，所以在討論傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理及其判別法之前，我們先引入函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)定理。</p><p>　　定理7 （一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂的充要條件為：對(duì)任給的正數(shù)，總存在某正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切正整數(shù)，都有</p><p>　　或

36、 .</p><p>　　此定理中當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的必要條件。</p><p>　　推論 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂的必要條件為：函數(shù)列在上一致收斂于零。</p><p>　　設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的和函數(shù)為，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)。</p><p>　　定理8 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是：</p>

37、;<p><b>　　.</b></p><p>　　下面我們引入函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)判別法。</p><p>　　定理9 (魏爾斯特拉斯判別法)設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集上，為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切，有</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收

38、斂。</p><p>　　定理10 （阿貝爾判別法）設(shè)</p><p>　?。á。┰趨^(qū)間上一致收斂；</p><p>　?。áⅲ?duì)于每一個(gè),是單調(diào)的；</p><p>　?。á＃┰谏弦恢掠薪?，即對(duì)一切和正整數(shù),存在正數(shù)，使得 .</p><p>　　則形如的級(jí)數(shù)在上一致收斂。</p>

39、<p>　　定理11 （狄利克雷判別法）設(shè)</p><p>　?。á。┑牟糠趾秃瘮?shù)列，在上一致有界；</p><p>　?。áⅲ?duì)于每一個(gè)，是單調(diào)的；</p><p><b>　?。á＃┰谏?，</b></p><p>　　則形如的級(jí)數(shù)在上一致收斂。[1]</p><p>　　3.2

40、 傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理</p><p>　　現(xiàn)在，我們給出傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理。</p><p>　　定理12 若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點(diǎn)，的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算數(shù)平均值，即，其中，為的傅里葉系數(shù)。</p><p>　　同理，若在上按段光滑，則同樣可由以上收斂定理得</p><p>　　. （

41、20）</p><p>　　這里我們對(duì)以上定理中的某些概念作以下解釋：</p><p>　?、偃舻膶?dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，則稱在上光滑；</p><p>　?、谌舳x在上除了至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上除了至多有限個(gè)點(diǎn)外都存在且連續(xù)，在這有限個(gè)點(diǎn)上導(dǎo)函數(shù)的左、右極限存在，則稱在上按段光滑。</p><p>　　由上述定義，若函數(shù)在上按段

42、光滑，則有如下性質(zhì)：</p><p><b>　?、僭谏峡煞e；</b></p><p>　?、谠谏厦恳稽c(diǎn)都存在，且有：</p><p>　?、墼谘a(bǔ)充定義在上那些至多有限個(gè)不存在點(diǎn)上的值后（仍記為），在上可積。</p><p>　　推論 若是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，則的傅里葉級(jí)數(shù)在上收斂于。[1]</p

43、><p>　　3.3 傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判定定理</p><p>　　下面，我們?cè)賮?lái)看傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判定定理，重點(diǎn)介紹兩個(gè)判別法，即Dini判別法和Jordan判別法。</p><p>　　首先我們記的傅里葉級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　3.3.

44、1 Dini判別法</p><p>　　若以為周期，在絕對(duì)可積，且存在，使得</p><p>　　存在，則的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂到，即。</p><p>　　Dini判別法的一個(gè)推論是Lipschitz判別，即：若以為周期，在絕對(duì)可積，且在滿足階的Lipschitz條件，即存在與常數(shù)，使得</p><p>　　成立，則的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂到。&l

45、t;/p><p>　　推論1 若以為周期，在絕對(duì)可積，且在有有限導(dǎo)數(shù)，則的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂到。</p><p>　　推論2 若以為周期，在絕對(duì)可積，且在上處處可微，則的傅里葉級(jí)數(shù)收斂到。</p><p>　　3.3.2 Jordan判別法</p><p>　　設(shè)以為周期，在絕對(duì)可積，且為上的有界變差函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)處都收斂到

46、。[3]</p><p>　　3.4 傅里葉級(jí)數(shù)的求和理論</p><p>　　在傅里葉級(jí)數(shù)的求和理論中，有一種是在其線性求和中通過(guò)構(gòu)造求和因子，使得帶有該求和因子的積分算子在全軸上一致收斂到每個(gè)以為周期的連續(xù)函數(shù)，并對(duì)函數(shù)類的逼近均達(dá)到最佳收斂階，其中參數(shù)為任意給定的奇自然數(shù)。</p><p>　　我們記為賦范的以為周期的連續(xù)函數(shù)空間，設(shè)，它的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間上

47、，利用三角恒等式可以得到其前項(xiàng)部分和為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　這個(gè)積分就是著名的Dirichlet奇異積分算子，而就是階Dirichlet核函數(shù)。要改進(jìn)其收斂性，一種方法是從Dirichlet核函數(shù)出發(fā)，構(gòu)造出新的核函數(shù)，使得帶有新核的積分算子能在全軸上一致地收斂到，通過(guò)Dirichlet積分算子構(gòu)造出一類組合型的積分算子，該積分

48、算子也在全軸上一致地收斂到每個(gè)連續(xù)函數(shù)，且具有最佳收斂階。而另一種方法是求和因子法，給出求和因子陣：，則有求和問(wèn)題：</p><p>　　，若求和因子要滿足下：</p><p><b>　?、賹?duì)每個(gè)，</b></p><p><b>　　②，</b></p><p>　　其中為常數(shù), 則在全軸上一致

49、地收斂到每個(gè)連續(xù)的。構(gòu)造求和因子：設(shè)為任意給定的奇自然數(shù)，取</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中，且滿足下面方程：。于是我們可以得到一個(gè)新的奇異積分算子：</p><p>　　。以此進(jìn)行計(jì)算下去。[4]</p><p>　　4 傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用</p><p

50、>　　傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)與工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，特別是物理學(xué)和電子學(xué)，它用來(lái)表示周期函數(shù)，比如由通信信號(hào)波組成的函數(shù)。此外，在熱傳導(dǎo)、彈力學(xué)等方面也都需要用到傅里葉級(jí)數(shù)。而很多工程中的問(wèn)題最終都可以歸納為一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)一個(gè)正弦函數(shù)的輸入反映，余弦函數(shù)，與正弦函數(shù)相差一個(gè)相位，因此余弦函數(shù)的輸入也可以歸結(jié)為正弦函數(shù)的問(wèn)題。在這種情形中所有的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，利用實(shí)變量的分析技術(shù)也能解決模型的分析問(wèn)題，然而，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用復(fù)變量能極

51、大地簡(jiǎn)化計(jì)算，并且能深入理解參數(shù)的本質(zhì)。所以也有觀點(diǎn)認(rèn)為傅里葉級(jí)數(shù)以及傅里葉變換與復(fù)變函數(shù)是緊密聯(lián)系的。所以我們需要將一個(gè)函數(shù)表示為正弦函數(shù)類的方法的同時(shí)，需要一個(gè)連接實(shí)變量和復(fù)變量的方法。而要把復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的運(yùn)算，常采用一種變換技巧。例如取對(duì)數(shù)能將數(shù)量的乘法和除法運(yùn)算變成對(duì)數(shù)的和與差的運(yùn)算，對(duì)運(yùn)算的結(jié)果取反對(duì)數(shù)，就得到原來(lái)數(shù)量的乘積或商。把乘法和除法的運(yùn)算變成加法和減法的運(yùn)算，就是將復(fù)雜的運(yùn)算變成簡(jiǎn)單運(yùn)算的一個(gè)典型例子。而

52、傅立葉變換就是一種常見的積分變換，其建立了將一個(gè)函數(shù)表示為正弦函數(shù)和的公式，實(shí)現(xiàn)了實(shí)變量和復(fù)變量之間的連接，同時(shí)還能將對(duì)函數(shù)的微分運(yùn)</p><p>　　4.1 利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和</p><p>　　我們?cè)谝圆糠痔峒斑^(guò)，關(guān)于數(shù)列求和的方法有很多種，比如公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、通項(xiàng)化歸、并項(xiàng)求和等等。但是對(duì)于某些數(shù)列，我們上面羅列的方法已經(jīng)不

53、足以進(jìn)行求和，比如我們接下來(lái)介紹的例子就是用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)進(jìn)行求和的。當(dāng)數(shù)列本身就是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列時(shí)，就可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，通常為冪級(jí)數(shù)，有時(shí)也為傅里葉級(jí)數(shù)，并由此求解。那么就來(lái)討論一下如何利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，特別是傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和。這里我們重點(diǎn)研究一下傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)類無(wú)窮級(jí)數(shù)和的求法。</p><p>　　函數(shù)的傅里葉展開理論為我們提供了一個(gè)周期函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式。通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)氖諗坑騼?nèi)的點(diǎn)，我們便可以得到

54、一些特殊數(shù)列的和，也就是到達(dá)了一類特殊數(shù)列求和的目的。</p><p>　　下面我們就以例子具體說(shuō)明。</p><p><b>　　4.2 應(yīng)用舉例</b></p><p>　　4.2.1 類無(wú)窮級(jí)數(shù)和的傅里葉求法</p><p>　　(符號(hào)說(shuō)明：下面提到的中的是第個(gè)求和)</p><p>&

55、lt;b>　　例1. 證明等式。</b></p><p>　　證明：取，在上展開成傅里葉級(jí)數(shù)，計(jì)算傅里葉系數(shù)得</p><p>　　由傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，于是有：</p><p><b>　　令，得</b></p><p><b>　　例2．證明等式。</b></p>

56、<p>　　證明：取，在上展開成傅里葉級(jí)數(shù)，計(jì)算傅里葉系數(shù)得</p><p>　　由傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，于是有</p><p><b>　　令，得</b></p><p>　　同理，取，在上展開成傅里葉級(jí)數(shù)，計(jì)算傅里葉系數(shù)，，</p><p><b>　　可證得</b></p&

57、gt;<p><b>　　.</b></p><p>　　依次類推，取，在上展開傅里葉級(jí)數(shù)，計(jì)算傅里葉系數(shù)，，可求得無(wú)窮級(jí)數(shù)的下面，我們求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例3. 求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　解：取，在上展開成傅里葉級(jí)數(shù)，計(jì)算傅里葉系數(shù)得</p><p><b>　　，

58、</b></p><p>　　其中， ，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　…，</b></p><p>　　由傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，于是有</p><p><b>　　，</b></p&g

59、t;<p><b>　　，</b></p><p><b>　　令，得</b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　。[6]</b></p><p>　　4.2.2 其他例子</p><

60、;p>　　例4. 把函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，并由它推出</p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　　（3）.</b></p><p>　　解：函數(shù)是按段光滑的，故它可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)。</p

61、><p><b>　　由于 </b></p><p><b>　　所以，當(dāng)時(shí)</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，上式右端收斂于0；當(dāng)時(shí)，由于，所以</p><p><b>　　證得（1）式。</b></p><p><b>　　又 ，所以<

62、;/b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　證得（2）式。</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，由于，所以</b></p><p><b>　　故有 </b></p><p>　　

63、證得（3）式。 </p><p>　　例5. 設(shè)為上可積函數(shù)，若的傅里葉級(jí)數(shù)在上一致收斂于，則成立帕塞瓦爾（Parseral）等式：</p><p>　　這里，為的傅里葉系數(shù)。</p><p>　　由于帕塞瓦爾等式對(duì)于在上滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù)也成立。則請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)結(jié)果證明等式： （提示：應(yīng)用例4的展開式導(dǎo)出）</p><p>　　證明

64、：由例4的結(jié)論知</p><p><b>　　由帕塞瓦爾等式有</b></p><p><b>　　故 .</b></p><p>　　例6. 求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式，并應(yīng)用它推出.</p><p><b>　　證明：在區(qū)間上</b></p><

65、;p><b>　　由</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　將，，代入，得</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，上式右端收斂于</p><p><b>　　所以.[1]</b></p><p&g

66、t;<b>　　5 總結(jié)</b></p><p>　　數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動(dòng)，不僅擁有真理，而且擁有至高無(wú)上的美。18世紀(jì)是分析的時(shí)代，數(shù)學(xué)進(jìn)入到更高層次的研究，傅里葉級(jí)數(shù)和數(shù)列求和均是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，因此研究傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用具有重大的意義。就傅里葉級(jí)數(shù)而言，已經(jīng)有了豐富的研究成果。如今，隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的不斷提高，傅里葉級(jí)數(shù)理論在工程計(jì)算和理論研究方面發(fā)揮著更重要

67、的作用。比如，數(shù)學(xué)、物理和力學(xué)領(lǐng)域的許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為偏微分方程的邊值問(wèn)題，分離變量法是解決這個(gè)問(wèn)題的重要方法。而分離變量法的實(shí)質(zhì)是把待求函數(shù)分離變量后代入相應(yīng)的偏微分方程，通常得到包含待定常數(shù)的級(jí)數(shù)解答，再令待求函數(shù)滿足相應(yīng)的邊界條件，以建立一組“平衡”方程組。但是這個(gè)方程組的計(jì)算過(guò)程通常比較復(fù)雜，不能直接求解，只能借助比較系數(shù)法。而其常用的方法就是把方程中的每一項(xiàng)在合適的區(qū)間內(nèi)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，通過(guò)比較三角函數(shù)變量前的系數(shù)，建立一

68、組線性代數(shù)方程，求解即得。而在此求解過(guò)程中，如何有效地把方程中每一項(xiàng)展成傅里葉級(jí)數(shù)就是能否順利求解的關(guān)鍵。[7]由此我們可以更深刻地體會(huì)到傅里葉級(jí)數(shù)的重要性。</p><p>　　目前，對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)的研究已經(jīng)有了非常豐富的研究資料，并且在上述提及過(guò)的數(shù)學(xué)本身、自然現(xiàn)象、工程技術(shù)以及物理研究等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。在論文準(zhǔn)備期，我也閱讀了很多資料，并從中有所領(lǐng)悟，對(duì)本次論文有很大幫助。比如，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式的計(jì)算過(guò)

69、程中，可以按正弦、余弦組合后依次相加 [8]，可以利用分布積分公式 [9]，也可以利用函數(shù)的對(duì)稱中心 [10] 計(jì)算得到，但這些方法都是據(jù)具體函數(shù)而言的；在傅里葉系數(shù)的計(jì)算方面，在現(xiàn)行教材所提到的三種推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，從逼近的角度出發(fā)，應(yīng)用多元函數(shù)極值的相關(guān)知識(shí)，可以得到一種新的推導(dǎo)方法以克服前面三種方法出現(xiàn)的不足和缺陷[11]；在傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性方面，對(duì)Dini定理和Jordan定理有更詳細(xì)和深入的介紹[12]；此外，還有三角函數(shù)部

70、分和在不同度量下的收斂速度 [13]，同一函數(shù)可以展成多種不同形式的傅里葉級(jí)數(shù)[14]，傅里葉級(jí)數(shù)部分和對(duì)凸函數(shù)的逼近[15]，及其在控制定理中的應(yīng)用[16]，等等。本論文則重點(diǎn)介紹了研究傅里葉級(jí)數(shù)的歷史背景、現(xiàn)狀，歸納梳理了傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)概念、收斂定理、判別法及其求和理論，并結(jié)合例子說(shuō)明傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用。隨</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p>

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