人力資源分配數(shù)學(xué)建模論文

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文檔簡介

1、　　數(shù)學(xué)建模論文 　　——人力資源安排問題　　摘要　　本題的背景是在當(dāng)今社會的企業(yè)中如何來實(shí)現(xiàn)人力資源分配，來完成不同的目標(biāo)，我們這道題要解決的就是如何安排人力資源是項(xiàng)目最早完成，我們解決這道題的具體思路是，考慮該問題為指派問題，以消耗的最小總時間

2、來作為目標(biāo)函數(shù)，然后跟具體題意來找出約束條件，然后利用lingo軟件進(jìn)行編程計(jì)算，最后將得出的結(jié)果導(dǎo)入excel進(jìn)行整理，給出最后答案。　　針對問題1、2，首先根據(jù)問題，我們利用優(yōu)化方法來建立目標(biāo)函數(shù)，然后分別找出約束條件，使其滿足題意，采用lingo軟件變成計(jì)算得出最優(yōu)解，并分析最優(yōu)值，同時給出最后答案。由于問題2是在問題1的基礎(chǔ)之上增加了一個約束條件，因此前兩個問的模型基本一致。</p

3、>　　針對問題3、4審校任務(wù)是要在翻譯完成之后開始，因此問題3、4也可以采用問題1、2的思想來建立數(shù)學(xué)模型，然而問題3在求出結(jié)果之后，我們發(fā)現(xiàn)我們所要的結(jié)果與所求的結(jié)果存在一定誤差，因此我們將對問題3的結(jié)果做人工處理，對G的工作任務(wù)作其局部調(diào)整，從此求得最優(yōu)結(jié)果。而問題4是在問題3的基礎(chǔ)之上加了一個約束條件，因此問題4的模型和處理方法基本一致。　　關(guān)

4、鍵詞 　　指派問題人力資源 lingo編程 　　問題重述　　在企事業(yè)單位，人力資源部門經(jīng)常要根據(jù)當(dāng)前情況把人員分配給即將開始的項(xiàng)目。一般地，對項(xiàng)目而言，越早完成越好；而對人力資源部門而言，在該項(xiàng)目上所花費(fèi)的人力越少越好。</

5、p>　　現(xiàn)有一個項(xiàng)目，需要把一份中文資料翻譯成英語、法語、日語、德語和俄語。已知A、B、C、D、E、F和G七個人翻譯該資料所需要花費(fèi)的時間如表1所示，且這七個人均表示可參加該項(xiàng)目?！咀⒁猓簽榱俗g文的連貫性，不允許兩人或兩人以上做同一種譯文的翻譯工作。一個人在同一時間只能做一種譯文的翻譯工作?！?lt;/p>　　表1. 七人五語種翻譯用時表（單位：天）<

6、p>　　試通過建立數(shù)學(xué)模型（而非枚舉法）回答下述問題。　　問題1. 應(yīng)該如何進(jìn)行人力資源的安排使得該項(xiàng)目盡早完成？　　問題2. 在問題1中若規(guī)定每人最多承擔(dān)一種譯文的翻譯工作，試求相應(yīng)的最優(yōu)人力資源安排方案。　　問題3. 接上級通知，為了保證翻譯的質(zhì)量，需要對翻譯之后的譯文進(jìn)行審校且規(guī)定同一個語種的審校人和

7、翻譯者不能為同一人。顯然，在這種新的要求下，該項(xiàng)目完成當(dāng)且僅當(dāng)所有的譯文均審校完。已知這七人均表示可以參加審校工作，他們審校這五種譯文的用時如表2所示。【注意：對于每個語種，只有當(dāng)該語種的譯文完全完成之后才能進(jìn)行該語種譯文的審校工作。為了譯文的連貫性，不允許兩人或兩人以上做同一種譯文的審校工作。一個人在同一時間只能做一種譯文的審校工作?！繂枺簯?yīng)該如何進(jìn)行人力資源的安排使得該項(xiàng)目盡早完成？　　表2

8、. 七人五語種審校用時表（單位：天）　　問題4. 在問題3中若規(guī)定每人最多承擔(dān)一種譯文的翻譯工作和另外一種譯文的審校工作，試求相應(yīng)的最優(yōu)人力資源安排方案。　　問題假設(shè)　　1.翻譯任務(wù)可以同時進(jìn)行，審校工作也可以同時進(jìn)行。　　2.某個語

9、種翻譯任務(wù)一旦完成便可以進(jìn)行審校，各語種間的工作進(jìn)度互不影響。　　3.將人員和語言依次進(jìn)行編號為1、2、3、、、、　　符號說明　　Xij：表示第i個人是否翻譯第j種語言。　　Cij：表示由第i個人翻譯第j種語言所需要的時間。</

10、p>　　M1：表示翻譯所需的總時間。M2表示審校所需的總時間。　　Yij：表示第i個人是否審校第j種語言。　　Pij：表示由第i個人審校第j種語言所需的時間。　　T1：表示完成翻譯的盡早時間，T2：表示完成審校的盡早時間。

11、問題分析　　本題要求我們解決如何進(jìn)行人力資源安排使得該項(xiàng)目盡早完成任務(wù)，也就是說我們?nèi)绾畏峙洳拍苁乖擁?xiàng)目完成所花費(fèi)時間最少，因此我們將對該問題的求解轉(zhuǎn)化為對完成該項(xiàng)目所需最少時間的求解，并考慮此問題為指派問題，我們設(shè)置了“0-1變量”來建立目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)規(guī)劃模型，由題意，分別寫出滿足題意的約束條件，問題3,4為在問題1,2翻譯完成之后為了確保質(zhì)量，而增加了一個審校的過程，而審

12、校的過程必須是在該種語言的翻譯介素后才可以進(jìn)行審校工作，然而我們所要考慮的是如何安排人力資源使得該項(xiàng)任務(wù)盡早完成，所以我們?nèi)匀豢梢圆捎脝栴}1,2的模型與思路來解決問題3,4。　　模型前的準(zhǔn)備　　經(jīng)過我們的分析得出，我們所要解決的問題屬于一類廣泛指派問題，為了后文的計(jì)算方便我們現(xiàn)在此找出指派問題的算法，并將問題中所給的

13、數(shù)據(jù)整理成矩陣的形式。　　1.指派問題的算法　　第一步；修正效益矩陣，使之變成每一行和每一列至少有一個0元素的縮減矩陣：1從效益矩陣的每一行元素減去各該行中最小元素；2再從所得縮減矩陣的沒列減去各列的最小元素。　　第二步；試制一個完全分配方案，它對應(yīng)于不同行不同列只有一個0元

14、素的縮減矩陣，以求得最優(yōu)解；1如果得到分布在不同行不同列的N個元素，那么久完成了求解最優(yōu)解的過程。結(jié)束。2如果所分布于不同行不同列中的0元素不夠N個，則轉(zhuǎn)下步。　　第三步；做出覆蓋所有0元素的最少數(shù)量的直線集合；1標(biāo)記沒有完成分配的行。2標(biāo)記已標(biāo)記行上所有未分配0元素所對應(yīng)的列。3對標(biāo)記的列中，已完成分配的行進(jìn)行標(biāo)記。4重復(fù)2.3直到?jīng)]有可標(biāo)記的0元素。5對未標(biāo)記的行和已標(biāo)記的列劃線，就能得到所

15、有0元素的最少數(shù)量的直線集合。　　第四步；修改縮減矩陣，以達(dá)到每行每列至少有一個0元素的目的；1在沒有直線覆蓋的部分中找出最小元素。2對沒有畫直線的個元素都減去這個元素。3對劃了橫線和豎線交叉的個元素都加上這個最小元素，4對話了一根直線或橫線的個元素保持不變。　　第五步；轉(zhuǎn)第二步<p&g

16、t;　　2.矩陣　　翻譯時間矩陣；　　審校時間矩陣；　　模型的建立　　我們需要解決的問題是如何安排人力資源，經(jīng)過觀察得出

17、該問題視為指派問題，但又不屬于指派問題的標(biāo)準(zhǔn)形式，因此我們將此問題視為廣泛指派問題，因此我們假設(shè)當(dāng)　　問題1第一個問讓我們求解應(yīng)該如何進(jìn)行人力資源安排使得該項(xiàng)目盡早完成，我們首先建立一個目標(biāo)函數(shù)：M1=min,我們通過對此目標(biāo)函數(shù)的求解來求出滿足盡早完成任務(wù)的人力資源合理安排，然后我們再建立一個求解幾個數(shù)值的最大值函數(shù)，來確定完成項(xiàng)目的最早時間，最大值函數(shù)為,然后我們根據(jù)實(shí)際需求來確立約束條件，

18、有題可知，該項(xiàng)目要求每種語言必須有人翻譯且每種語言的翻譯只能有一個人來完成，因此我們得出此約束條件為：此時我們可以得出問題1的數(shù)學(xué)模型：　　問題2在問題1中若規(guī)定每人最多承擔(dān)一種譯文的翻譯工作，試求相應(yīng)的最優(yōu)人力資源安排方案。由此得出問題2是在問題1的基礎(chǔ)之上增添了一個約束條件，要求每人最多只可以承擔(dān)一種語言的翻譯而問題一種我們并沒有對此問題的約束，而其他的解題思路和問題1相同，因此問題2我們只

19、需在問題1的基礎(chǔ)之上添加一個約束條件，此時我們就得出了問題二的數(shù)學(xué)模型　　問題3與問題1道理相同，我們通過求完成審校的總時間最小來求盡早完成任務(wù)的時間，進(jìn)而來安排人力資源，首先我們建立假設(shè)當(dāng) 　　然后我們建立目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型；M2=min通過對此模型的求解我們可以求出滿足完成該項(xiàng)任務(wù)所需要的最短總時間，同時也可以求出完成審校每一種語言的時間

20、，在建立一個求解最大值的函數(shù)來求解審校時所花費(fèi)的最長時間：,然后我們再根據(jù)實(shí)際問題找出問題的約束條件，同樣每種語言必須有人審校，而且只能由一個人審校完成同一種語言，此時有約束，然而為了審校的準(zhǔn)確性，規(guī)定同一個語種的審校人和翻譯者不能為同一人，由此我們又可以獲得一個約束條件；Xij*Yij=0；綜上所述我們可以得出問題3的優(yōu)化模型；　　問題4是在問題3的基礎(chǔ)之上做的改進(jìn)，與問題二的道理相同，就是在

21、問題3中增加一個約束條件，使得每個人最多只承擔(dān)一種語言的審校任務(wù)，因此我們可以得出約束條件為。綜上所述我們總結(jié)出問題4的模型為　　模型的求解　　我們掌握了指派問題的算法，并應(yīng)用lingo軟件，將我們所建立的數(shù)學(xué)模型一次進(jìn)行編程，分別求出每個問的結(jié)果，并將所求出的結(jié)果，輸入到excel里進(jìn)行整理，然后將其結(jié)果用表格的形

22、式給出。　　問題1；我們采用lingo將此模型進(jìn)行編程計(jì)算，由此可以的出問題1的結(jié)果，并將其結(jié)果輸入excel進(jìn)行整理；　　我們可以得出結(jié)果為A翻譯英語和德語，一共需要3天，D翻譯俄語，需要4天，E翻譯法語，需要4天，F(xiàn)翻譯日語，需要6天，如此安排可以得出總的時間最小M1=17，然而每個人是同時開始開始翻譯的，因此花費(fèi)時間最長的就是最后完成的，也就是說此

23、時日語是最后完成的，需要6天，T1=6，所以該項(xiàng)任務(wù)如此安排人力資源，6天就可以完成任務(wù)。　　問題2的結(jié)果　　我們根據(jù)模型計(jì)算求得；A翻譯德語，需要1天，B翻譯法語，需要4天，D翻譯俄語，需要4天，F(xiàn)翻譯日語，需要6天，G翻譯英語，需要4天，如此安排人力資源所需最小總時間為19天，M1=19，和問題1道理相同，也是每

24、個人同時開始翻譯，因此最早完成任務(wù)的時間應(yīng)該等于花費(fèi)時間最長的人，T1=6天既如此安排人力資源，最快可以在6天完成該項(xiàng)任務(wù)。　　問題3的結(jié)果　　由于問題3是接著問題1而來的，即每個人可以從事多種語言的翻譯，也可以從事多種語言的審校工作。我們通過初步計(jì)算，可以得出結(jié)果為；F審校日語，需要4天，G翻譯英語、日語、德語、俄

25、語分別需要4天、6天、3天、2天，即G審校的總時間為15天，我們所要達(dá)成的目標(biāo)是讓該項(xiàng)目盡早完成，因此我們將G的工作任務(wù)作其調(diào)整，我們通過觀察，可以得出，當(dāng)?shù)抡Z翻譯完成后，就可以讓G來審校德語，當(dāng)俄語翻譯完成后，剛好德語的審校工作完成，此時可以讓G去從事俄語的審校工作，當(dāng)日與翻譯完成時，俄語的審校工作也同時完成，此時我們發(fā)現(xiàn)審校日語用時最短的人還是G，因此我們繼續(xù)讓G去做日語的審校工作，而D和E審校英語的時間都是4天，因此我們將G審校英

26、語的任務(wù)取消，將此任務(wù)交給D或E來完成。此時是可以最快完成該項(xiàng)任務(wù)的安排，共需要12天，調(diào)整后的人力資源安排表。　　以上兩種人力資源的安排方式均可以實(shí)現(xiàn)我們的目標(biāo)，使其完成該項(xiàng)任務(wù)所用時間最短M2=21，T2=T=翻譯日語的時間+審校日語的時間=6+6=12天即完成該項(xiàng)任務(wù)在12天可以完成。　　問題4的結(jié)果</

27、p>　　我們通過計(jì)算可以得出結(jié)果；A審校英語，需要1天，B審校日語，需要8天，E審校俄語，需要5天，F(xiàn)審校法語，需要4天，G審校德語，需要3天?？傆脮r為最小21天，最快完成該項(xiàng)任務(wù)的時間T=翻譯日語的時間+審校日語的時間=6+8=14天　　模型的評價、改進(jìn)及推廣　　1.模型的評價</

28、p>　　優(yōu)點(diǎn)；該模型能夠合理地安排人力資源，不但可以是任務(wù)最早完成，而且能夠?qū)崿F(xiàn)消耗的總時間最小，該模型思路清晰，容易讓更多的人接受。　　缺點(diǎn)；我們利用總的最小時間來做目標(biāo)函數(shù)，導(dǎo)致部分問題直接求得的解不是最優(yōu)解，因而需要做局部調(diào)整。　　模型的改進(jìn)

29、　　因?yàn)樵Ｐ驮诓糠值胤讲荒苤苯忧蟪鑫覀兯蟮牡淖顑?yōu)解，因此我們將原模型的目標(biāo)函數(shù)做一下調(diào)整，將目標(biāo)函數(shù)改為；　　而且還需要我們考慮的是一個人不能從事太多項(xiàng)任務(wù)，為了避免一個人的工作時間大于完成一種語言的翻譯和審校時間和。　　模型的推廣　　我們可以將此模型應(yīng)用到企事業(yè)當(dāng)中，

30、幫助人事部門，完成人力資源的安排與管理工作，使企事業(yè)的人力資源成本有所降低，實(shí)現(xiàn)人力資源管理的最優(yōu)化。　　參考文獻(xiàn)　　1.運(yùn)籌學(xué) 胡運(yùn)權(quán)主編北京清華大學(xué)出版社　　2.優(yōu)化建模lindo與lingo軟件謝金星主編北京清華大學(xué)出版社<

31、;p>　　附件　　問題1lingo程序　　sets:　　people/1..7/;　　language/1..5/;　　Links(people,l

32、anguage): t,x;　　endsets 　　data:　　t=2 15 13 1 8　　10 4 14 15 7　　9 14 16 13 8<

33、;/p>　　7 8 11 9 4　　8 4 15 8 6　　12 4 6 8 13　　5 16 8 5 10;　　enddata　　min=@sum(links:

34、x*t);　　@for(language(j):　　@sum(people(i):x(i,j))=1);　　@for(people(i):　　@sum(language(j): x(i,j))<=2);　　@for(link

35、s:@bin(x));　　End　　運(yùn)算結(jié)果如下圖　　Global optimal solution found.　　Objective value:

36、 17.00000　　Objective bound: 17.00000　　Variable Value Reduced Cost　　X( 1, 1) 1.000000 2.

37、000000　　X( 1, 2) 0.000000 15.00000　　X( 1, 3) 0.000000 13.00000　　X( 1, 4) 1.000000 1.000000&

38、lt;p>　　X( 1, 5) 0.000000 8.000000　　X( 2, 1) 0.000000 10.00000　　X( 2, 2) 0.000000 4.000000　　X( 2, 3)

39、 0.000000 14.00000　　X( 2, 4) 0.000000 15.00000　　X( 2, 5) 0.000000 7.000000　　X( 3, 1) 0.000000

40、 9.000000　　X( 3, 2) 0.000000 14.00000　　X( 3, 3) 0.000000 16.00000　　X( 3, 4) 0.000000 13.00000<

41、;/p>　　X( 3, 5) 0.000000 8.000000　　X( 4, 1) 0.000000 7.000000　　X( 4, 2) 0.000000 8.000000

42、　X( 4, 3) 0.000000 11.00000　　X( 4, 4) 0.000000 9.000000　　X( 4, 5) 1.000000 4.000000　　X( 5, 1) 0.

43、000000 8.000000　　X( 5, 2) 1.000000 4.000000　　X( 5, 3) 0.000000 15.00000　　X( 5, 4) 0.000000 8

44、.000000　　X( 5, 5) 0.000000 6.000000　　X( 6, 1) 0.000000 12.00000　　X( 6, 2) 0.000000 4.000000

45、　　X( 6, 3) 1.000000 6.000000　　X( 6, 4) 0.000000 8.000000　　X( 6, 5) 0.000000 13.00000　　X( 7, 1)

46、 0.000000 5.000000　　X( 7, 2) 0.000000 16.00000　　X( 7, 3) 0.000000 8.000000　　X( 7, 4) 0.000000

47、 5.000000　　X( 7, 5) 0.000000 10.00000　　問題2增加了約束條件　　sets:　　people/1..7/;

48、;　　language/1..5/;　　Links(people,language): t,x;　　endsets 　　data:　　t=2 15 13 1 8<p&

49、gt;　　10 4 14 15 7　　9 14 16 13 8　　7 8 11 9 4　　8 4 15 8 6　　12 4 6 8 13　　5 16 8 5 10;　　e

50、nddata　　min=@sum(links: x*t);　　@for(language(j):　　@sum(people(i):x(i,j))=1);　　@for(people(i):　　@sum(langu

51、age(j): x(i,j))<=1);　　@for(links:@bin(x));　　End　　運(yùn)算結(jié)果如下圖　　Global optimal solution found.</p&

52、gt;　　Objective value: 20.00000　　Objective bound: 20.00000　　Variable Value Reduce cost</p&

53、gt;　　X( 1, 1) 0.000000 2.000000　　X( 1, 2) 0.000000 15.00000　　X( 1, 3) 0.000000 13.00000　　X(

54、1, 4) 1.000000 1.000000　　X( 1, 5) 0.000000 8.000000　　X( 2, 1) 0.000000 10.00000　　X( 2, 2) 1.0000

55、00 4.000000　　X( 2, 3) 0.000000 14.00000　　X( 2, 4) 0.000000 15.00000　　X( 2, 5) 0.000000 7.000

56、000　　X( 3, 1) 0.000000 9.000000　　X( 3, 2) 0.000000 14.00000　　X( 3, 3) 0.000000 16.00000<

57、p>　　X( 3, 4) 0.000000 13.00000　　X( 3, 5) 0.000000 8.000000　　X( 4, 1) 0.000000 7.000000　　X( 4, 2)

58、 0.000000 8.000000　　X( 4, 3) 0.000000 11.00000　　X( 4, 4) 0.000000 9.000000　　X( 4, 5) 1.000000

59、 4.000000　　X( 5, 1) 0.000000 8.000000　　X( 5, 2) 0.000000 4.000000　　X( 5, 3) 0.000000 15.00000</p

60、>　　X( 5, 4) 0.000000 8.000000　　X( 5, 5) 0.000000 6.000000　　X( 6, 1) 0.000000 12.00000　　X(

61、 6, 2) 0.000000 4.000000　　X( 6, 3) 1.000000 6.000000　　X( 6, 4) 0.000000 8.000000　　X( 6, 5) 0.000

62、000 13.00000　　X( 7, 1) 1.000000 5.000000　　X( 7, 2) 0.000000 16.00000　　X( 7, 3) 0.000000 8.00

63、0000　　X( 7, 4) 0.000000 5.000000　　X( 7, 5) 0.000000 10.00000　　問題3的程序　　se

64、ts:　　people/1..7/;　　language/1..5/;　　Links(people,language): p,y;　　endsets

65、data:　　p=1 10 13 1 8　　10 4 8 10 5　　8 6 10 9 6　　6 7 11 8 4　　6 3 15 8 5　　11 4 6 7 10&l

66、t;/p>　　4 12 6 3 2;　　enddata　　min=@sum(links: y*p);　　@for(language(j):　　@sum(people(i):y(i,j))=1);</p

67、>　　@for(people(i):　　@sum(language(j): x(i,j))<=2);　　@for(links:@bin(y));　　y(1,1)=0;　　y(1,4)

68、=0;　　y(4,5)=0;　　y(5,2)=0;　　y(6,3)=0;　　End

69、;　　結(jié)果如下　　Global optimal solution found.　　Objective value: 19.00000　　Objective bound:

70、 19.00000　　Variable Value Reduced Cost　　Y( 1, 1) 0.000000 0.000000　　Y( 1, 2) 0.000000 10.

71、00000　　Y( 1, 3) 0.000000 13.00000　　Y( 1, 4) 0.000000 0.000000　　Y( 1, 5) 0.000000 8.000000&l

72、t;p>　　Y( 2, 1) 0.000000 10.00000　　Y( 2, 2) 0.000000 4.000000　　Y( 2, 3) 0.000000 8.000000　　Y( 2, 4)

73、 0.000000 10.00000　　Y( 2, 5) 0.000000 5.000000　　Y( 3, 1) 0.000000 8.000000　　Y( 3, 2) 0.000000

74、 6.000000　　Y( 3, 3) 0.000000 10.00000　　Y( 3, 4) 0.000000 9.000000　　Y( 3, 5) 0.000000 6.000000<

75、/p>　　Y( 4, 1) 0.000000 6.000000　　Y( 4, 2) 0.000000 7.000000　　Y( 4, 3) 0.000000 11.00000

76、Y( 4, 4) 0.000000 8.000000　　Y( 4, 5) 0.000000 0.000000　　Y( 5, 1) 0.000000 6.000000　　Y( 5, 2) 0.0

77、00000 0.000000　　Y( 5, 3) 0.000000 15.00000　　Y( 5, 4) 0.000000 8.000000　　Y( 5, 5) 0.000000 5.

78、000000　　Y( 6, 1) 0.000000 11.00000　　Y( 6, 2) 1.000000 4.000000　　Y( 6, 3) 0.000000 0.000000&

79、lt;p>　　Y( 6, 4) 0.000000 7.000000　　Y( 6, 5) 0.000000 10.00000　　Y( 7, 1) 1.000000 4.000000　　Y( 7, 2)

80、 0.000000 12.00000　　Y( 7, 3) 1.000000 6.000000　　Y( 7, 4) 1.000000 3.000000　　Y( 7, 5) 1.000000

81、 2.000000　　sets:　　people/1..7/;　　language/1..5/;　　Links(people,language): p,y;

82、endsets 　　data:　　p=1 10 13 1 8　　10 4 8 10 5　　8 6 10 9 6　　6 7 11 8 4<p&g

83、t;　　6 3 15 8 5　　11 4 6 7 10　　4 12 6 3 2;　　enddata　　min=@sum(links: y*p);　　@for(language(j):</

84、p>　　@sum(people(i):y(i,j))=1);　　@for(people(i):　　@sum(language(j): y(i,j))<=1);　　@for(links:@bin(y));　　y(1,4)=

85、0;　　y(4,5)=0;　　y(5,2)=0;　　y(6,3)=0;　　y(7,1)=0;<

86、/p>　　End　　問題4的結(jié)果如下　　Global optimal solution found.　　Objective value: 21.0000

87、0　　Objective bound: 21.00000　　Variable Value Reduced Cost　　Y( 1, 1) 1.000000 1.000000</p&g

88、t;　　Y( 1, 2) 0.000000 10.00000　　Y( 1, 3) 0.000000 13.00000　　Y( 1, 4) 0.000000 0.000000　　Y( 1

89、, 5) 0.000000 8.000000　　Y( 2, 1) 0.000000 10.00000　　Y( 2, 2) 0.000000 4.000000　　Y( 2, 3) 1.00000

90、0 8.000000　　Y( 2, 4) 0.000000 10.00000　　Y( 2, 5) 0.000000 5.000000　　Y( 3, 1) 0.000000 8.0000

91、00　　Y( 3, 2) 0.000000 6.000000　　Y( 3, 3) 0.000000 10.00000　　Y( 3, 4) 0.000000 9.000000<p

92、>　　Y( 3, 5) 0.000000 6.000000　　Y( 4, 1) 0.000000 6.000000　　Y( 4, 2) 0.000000 7.000000　　Y( 4, 3)

93、 0.000000 11.00000　　Y( 4, 4) 0.000000 8.000000　　Y( 4, 5) 0.000000 0.000000　　Y( 5, 1) 0.000000

94、 6.000000　　Y( 5, 2) 0.000000 0.000000　　Y( 5, 3) 0.000000 15.00000　　Y( 5, 4) 0.000000 8.000000</p&

95、gt;　　Y( 5, 5) 1.000000 5.000000　　Y( 6, 1) 0.000000 11.00000　　Y( 6, 2) 1.000000 4.000000　　Y(

96、6, 3) 0.000000 0.000000　　Y( 6, 4) 0.000000 7.000000　　Y( 6, 5) 0.000000 10.00000　　Y( 7, 1) 0.0000

97、00 0.000000　　Y( 7, 2) 0.000000 12.00000　　Y( 7, 3) 0.000000 6.000000　　Y( 7, 4) 1.000000 3.000

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