畢業(yè)論文--排列組合中易混淆的問(wèn)題及應(yīng)對(duì)的教學(xué)策略

1、<p>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）</p><p><b>　　( 2011屆 )</b></p><p>　　題 目： 排列組合中易混淆的問(wèn)題 </p><p>　　及應(yīng)對(duì)的教學(xué)策略 </p><p>　　學(xué)

2、 院： 數(shù)理與信息工程學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要1</b></p>&l

3、t;p><b>　　英文摘要1</b></p><p><b>　　1 引言2</b></p><p>　　1.1 問(wèn)題的提出2</p><p>　　1.2 研究目的和意義2</p><p>　　1.2.1 研究目的2</p><p>　　1.2.2

4、 研究意義2</p><p>　　1.3 研究的思路與主要方法3</p><p>　　1.3.1 研究思路3</p><p>　　1.3.2 研究方法3</p><p>　　2 高中生學(xué)習(xí)排列組合的特點(diǎn)3</p><p>　　2.1 排列組合的主要內(nèi)容3</p><p>　　

5、2.1.1 排列3</p><p>　　2.1.2 組合3</p><p>　　2.2 高中生學(xué)習(xí)排列組合的意義3</p><p>　　2.3 高中學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合的基本特點(diǎn)5</p><p>　　3 排列組合教與學(xué)的現(xiàn)狀調(diào)查5</p><p>　　3.1 排列組合學(xué)習(xí)現(xiàn)狀調(diào)查6</p>

6、;<p>　　3.1.1 調(diào)查目的、對(duì)象、內(nèi)容、方法6</p><p>　　3.1.2 調(diào)查分析6</p><p>　　3.2 排列組合教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查8</p><p>　　3.2.1 調(diào)查目的、對(duì)象、內(nèi)容、方法8</p><p>　　3.2.2 調(diào)查分析8</p><p>　　3.2.

7、3 教學(xué)中常用的解題方法和策略9</p><p>　　4 排列組合教學(xué)的個(gè)案研究10</p><p>　　5 提高排列組合教學(xué)質(zhì)量的途徑與思考13</p><p>　　5.1 遵循學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律，開(kāi)展有效教學(xué)13</p><p>　　5.2 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率13</p><p>　

8、　5.3 針對(duì)排列組合的不同問(wèn)題，靈活選擇教學(xué)策略14</p><p>　　5.3.1 指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)14</p><p>　　5.3.2 建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題14</p><p>　　6 反思與研究展望16</p><p>　　6.1 研究存在的不足16</p><p>　　6.

9、2 研究的前景展望16</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)16</b></p><p><b>　　附錄一18</b></p><p><b>　　附錄二19</b></p><p>　　排列組合中易混淆的問(wèn)題及應(yīng)對(duì)的教學(xué)策略</p><p>

10、;　　摘要：在全國(guó)推進(jìn)素質(zhì)教育的今天，在新一輪國(guó)家基礎(chǔ)教育課改實(shí)施之際，對(duì)教師新的教學(xué)方法與學(xué)生新的學(xué)習(xí)方式的研究與探討，顯得十分迫切與必要。排列組合是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密的、重要的基礎(chǔ)知識(shí)。高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，排列組合知識(shí)一直是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。</p><p>　　本文采用文獻(xiàn)法、文獻(xiàn)法、個(gè)案分析法、調(diào)查法、比較分析法等方法，從高中生學(xué)習(xí)排列組合的特點(diǎn)著手，分析高中生學(xué)習(xí)

11、排列組合的教育價(jià)值，對(duì)高中生學(xué)習(xí)排列組合的現(xiàn)狀、問(wèn)題及高中教師排列組合教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行調(diào)查分析，總結(jié)出影響排列組合學(xué)習(xí)、教學(xué)的主要因素。在相關(guān)的教育教學(xué)理論研究基礎(chǔ)上，筆者結(jié)合排列組合案例分析研究，提出幾點(diǎn)應(yīng)對(duì)策略。主要有：遵循學(xué)生的個(gè)性發(fā)展規(guī)律，開(kāi)展有效教學(xué);激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率;促進(jìn)排列組合知識(shí)遷移，形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu);針對(duì)排列組合的不同問(wèn)題，靈活選擇教學(xué)策略等。貫徹實(shí)施這四條應(yīng)對(duì)策略是提高排列組合教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。</

12、p><p>　　關(guān)鍵詞：高中；排列組合；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)教學(xué)</p><p>　　The Confusing Problem And Correspondent Teaching Study Strategy Of Permutations And Combinations</p><p>　　PENG Min Director：SHEN Zi-fei</p&

13、gt;<p>　　Dept.of Science &Engineering，Zhejiang Normal University </p><p>　　Abstract：It is quite necessary and emergent to study the new teaching methods and to prove the new learning ways as the q

14、uality education is pushed further in china and the new course reform is implemented nowadays. With a long history, permutations and combinations is an important basic knowledge which is related closely to the reality. P

15、ermutations and combinations is a key and difficult point in high school maths teaching.</p><p>　　Employing the method of document study, investigation, comparative analysis and case analysis, the present es

16、say analyzes the values of students’ learning permutations and combinations, investigates the teaching state and further summarizes the main elements which influence students’ learning. Meanwhile, on the basis of studyin

17、g the relevant teaching theories, the present essay points out the methods and ideas of improving the teaching quality , such as teaching effectively in accordance to stud</p><p>　　Key Words： permutations an

18、d combinations；maths learning；maths teaching；high school；</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　1.1 問(wèn)題的提出</p><p>　　排列組合是初等數(shù)學(xué)中，是很重要的基礎(chǔ)知識(shí)。排列組合在中國(guó)最早的文獻(xiàn)記載見(jiàn)于《周易》中關(guān)于卦符問(wèn)題的研究。卦中六畫(huà)的排列從

19、下到上，用初、二、三、四、五、上表示位序，陽(yáng)爻稱九，陰爻稱六，爻象共三百八十四。從現(xiàn)存的資料來(lái)看，中國(guó)專門(mén)系統(tǒng)地討論排列組合問(wèn)題的論著出現(xiàn)于清代陳厚耀的《錯(cuò)綜法義》。明末清初，由于來(lái)華傳教士的工作，西方數(shù)學(xué)傳入中國(guó)，中西數(shù)學(xué)逐漸合流，其中許多內(nèi)容都與排列組合的計(jì)算有關(guān)。</p><p>　　在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，排列組合這部分知識(shí)一直是一個(gè)難點(diǎn)。它還是組合數(shù)學(xué)（組合論）最初步的知識(shí)，成果已被廣泛應(yīng)用到許多自

20、然科學(xué)中。比如概率論，計(jì)算機(jī)科學(xué)，圖論等，都用到組合論的方法結(jié)果。這種以計(jì)數(shù)問(wèn)題為特征的內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中是較為特殊的，由于其思想方法較為獨(dú)特靈活，因而它也是發(fā)展學(xué)生抽象能力和邏輯思維能力的好素材，可用于訓(xùn)練學(xué)生在計(jì)數(shù)、猜想、一般化和系統(tǒng)思維等方面的能力，有助于發(fā)展如等價(jià)和順序關(guān)系等概念。</p><p>　　高中生應(yīng)重視排列組合的學(xué)習(xí)，不但要從中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)能力，而且還可以與其他知識(shí)領(lǐng)域結(jié)合。然而，

21、經(jīng)過(guò)文獻(xiàn)查閱發(fā)現(xiàn)排列組合教學(xué)方面的資料比較少，學(xué)生在學(xué)習(xí)這章知識(shí)時(shí)普遍感到困難。排列組合相對(duì)于其他章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)比較獨(dú)立。那么學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中哪些知識(shí)點(diǎn)上感到困惑?造成困惑的因素是什么?又是什么原因引起的?作為一線教師排列組合的教學(xué)的現(xiàn)狀又怎樣?是否存在問(wèn)題?若有，又應(yīng)該怎樣改進(jìn)，才能更好地把這章教好?要解決上述問(wèn)題需要進(jìn)一步的研究。</p><p>　　1.2 研究目的和意義</p><

22、;p>　　1.2.1 研究目的</p><p>　　本研究試圖在對(duì)排列組合教學(xué)研究文獻(xiàn)的分析，教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)研基礎(chǔ)上，探索提高教學(xué)質(zhì)量的途徑與方法，為教師提供可供參考的教學(xué)案例。</p><p>　　1.2.2 研究意義</p><p><b>　　(1)理論意義</b></p><p>　　本研究可豐富排列組合教

23、學(xué)研究的文獻(xiàn)，為教師在排列組合教學(xué)做進(jìn)一步研究提供參考、幫助;為提高高中生排列組合學(xué)習(xí)效率提供理論依據(jù)。</p><p><b>　　(2)實(shí)踐意義</b></p><p>　　本研究對(duì)教師在排列組合的教學(xué)有所幫助促進(jìn)，為實(shí)際教學(xué)提供了參考依據(jù)。教師可通過(guò)本研究找到教學(xué)中不足，從而改進(jìn)教學(xué)方法、教學(xué)策略;學(xué)生可通過(guò)本研究了解自身學(xué)習(xí)中的存在的問(wèn)題及原因，從而改進(jìn)學(xué)習(xí)方

24、式。</p><p>　　1.3 研究的思路與主要方法</p><p>　　1.3.1 研究思路</p><p>　　本課題主要研究高中生學(xué)習(xí)排列組合的必要性、可行性、出現(xiàn)的問(wèn)題以及教師現(xiàn)階段如何教學(xué)，今后如何改進(jìn)等方面內(nèi)容。主要分以下幾個(gè)步驟進(jìn)行:</p><p>　　(1)對(duì)排列組合教學(xué)研究的文獻(xiàn)進(jìn)行分析和整理。</p>

25、<p>　　(2)對(duì)高中學(xué)生做問(wèn)卷調(diào)查，對(duì)排列組合學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析。了解高中學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合的特點(diǎn)及存在的問(wèn)題。</p><p>　　(3)對(duì)排列組合教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查、訪談所收集的材料進(jìn)行分析、整理，并分析排列組合教學(xué)中存在的主要問(wèn)題及原因。</p><p>　　(4)對(duì)排列組合教學(xué)進(jìn)行個(gè)案研究，對(duì)比分析研究，探求更好的教學(xué)方法，提高教學(xué)效率。</p><

26、p>　　(5)在以上工作的基礎(chǔ)上針對(duì)高中學(xué)生學(xué)習(xí)中、教師教學(xué)中存在的問(wèn)題，提出提高排列組合教學(xué)質(zhì)量的途徑與方法。</p><p>　　1.3.2 研究方法</p><p>　　本研究采用的研究方法主要包括: 問(wèn)卷調(diào)查法;文獻(xiàn)法;個(gè)案分析法;比較分析法。</p><p>　　2 高中生學(xué)習(xí)排列組合的特點(diǎn)</p><p>　　2.1

27、排列組合的主要內(nèi)容</p><p><b>　　2.1.1 排列</b></p><p>　　排列的定義包含兩個(gè)基本內(nèi)容:一是“取出元素”;一是“按照一定順序排列”?！耙欢樞颉本褪桥c位置有關(guān)。</p><p><b>　　2.1.2 組合</b></p><p>　　組合和排列所研究的問(wèn)題完全類

28、似，并且組合數(shù)公式的推導(dǎo)要依據(jù)排列數(shù)公式。</p><p>　　排列與組合問(wèn)題的共同點(diǎn)，都要“從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素”；不同點(diǎn)就是，對(duì)于所取出的m個(gè)元素，前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者卻是“不管怎樣的順序并成一組”。由于研究組合問(wèn)題時(shí)，與排列一樣，也是從n個(gè)不同元素中進(jìn)行不重復(fù)抽取，求組合數(shù)的問(wèn)題也可以從集合的角度進(jìn)行解釋。</p><p>　　組合數(shù)性質(zhì):性質(zhì)1:是解釋

29、從n個(gè)元素中取m個(gè)與從n個(gè)元素中取n-m個(gè)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系為主線，由特殊延伸到一般得到結(jié)論。并利用組合數(shù)公式對(duì)性質(zhì)1證明，以提高學(xué)生對(duì)組合式子的變形能力。性質(zhì)2:也是從具體例題中發(fā)現(xiàn)并解釋，再推廣到一般情況。</p><p>　　2.2 高中生學(xué)習(xí)排列組合的意義</p><p>　　排列和組合是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，在實(shí)際問(wèn)題和科學(xué)技術(shù)中都有廣泛的應(yīng)用;并且是今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)的基礎(chǔ)

30、。邏輯推理更是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在排列組合問(wèn)題中充分體現(xiàn)了對(duì)稱、分類、等價(jià)轉(zhuǎn)化、整體、方程、類比、化歸的數(shù)學(xué)思想。它應(yīng)用性強(qiáng)，題型多變，條件隱晦，思維抽象，，問(wèn)題交錯(cuò)，易出現(xiàn)重復(fù)和遺漏以及不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤等特征。讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、猜測(cè)、推理與交流等活動(dòng)，初步感受數(shù)學(xué)思想方法的奇妙，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，逐步形成全面思考問(wèn)題的意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)他們探索數(shù)學(xué)的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)的意識(shí)，進(jìn)而達(dá)到《標(biāo)準(zhǔn)》第一學(xué)段的要求:使學(xué)生“在解決問(wèn)題的過(guò)程

31、中，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的、有條理的思考”。</p><p><b>　　（1）對(duì)稱思想</b></p><p>　　例如:A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的站法有( )</p><p>　　A、24種 B、60種 C、90種 D、120種</p><p>　　解析: 利用對(duì)稱關(guān)

32、系(注意到A在B的左邊與A在B的右邊的排列情形是對(duì)稱相等的)，所以共有種。</p><p><b>　　（2）分類討論思想</b></p><p>　　對(duì)較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題要會(huì)用分類思想將其轉(zhuǎn)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，再進(jìn)行逐一解決的方法。</p><p>　　例如:從印著0、1、3、5、7、9的六張卡片中，任意抽出3張，如允許9可以看作6用，那么

33、可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?</p><p>　　解析:先選后排。因0與9是特殊元素，故需分類考慮，可分四類:(1)有0有9;(2)無(wú)0有9;(3)有0無(wú)9;(4)無(wú)0無(wú)9。共有個(gè)。</p><p><b>　　（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想</b></p><p>　　轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法之一。排列應(yīng)用題的解題方法和技巧離不開(kāi)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)

34、用，雖然有許多排列應(yīng)用題表面上看似與轉(zhuǎn)化無(wú)關(guān)，但其本質(zhì)是相同的，僅是問(wèn)題的“情境”不同而已。</p><p>　　1、化生為熟:許多背景不同的排列組合問(wèn)題都能轉(zhuǎn)化為已經(jīng)很熟悉的排列組合問(wèn)題。</p><p>　　2、化整為零，各個(gè)擊破:將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題。</p><p>　　3、正難則反:逆向思維、化難為易。</p><p>&

35、lt;b>　?。?）整體思想</b></p><p>　　例如:有一張節(jié)目表中原有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的順序不變，再添加進(jìn)去了3個(gè)節(jié)目，則不同的添加方法有多少種?</p><p>　　解析:從整體考慮，就是9個(gè)位置中取出3個(gè)，排新添加進(jìn)去的3個(gè)節(jié)目，剩下的6個(gè)位置就依原節(jié)目的順序添上原有的6個(gè)節(jié)目。所以共有種。</p><p><b&g

36、t;　?。?）類比思想</b></p><p>　　例如:某校高三年級(jí)有六個(gè)班，現(xiàn)從中選出10人組成女子籃球隊(duì)，規(guī)定每個(gè)班至少選一人，這10個(gè)名額有多少種不同的分配方法?</p><p>　　解析:這個(gè)問(wèn)題類似于用5塊隔板將排成一排的10個(gè)相同的球隔開(kāi)成六段，每段之間(含兩頭)至少有一球，為達(dá)到此目的，可在兩球之間的9個(gè)位置中選擇5個(gè)位置放隔板(排隊(duì)中的插隊(duì)問(wèn)題)，得到的結(jié)果對(duì)

37、應(yīng)一種分配方案，所以共有種分配方案。</p><p><b>　　(6) 集合思想</b></p><p>　　例如:從5名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法?</p><p>　　解析:設(shè)全集I={5人中任取4人參賽的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根據(jù)求集合個(gè)數(shù)的

38、公式得參賽方法共有n(I)-n(A)-n(B)+n()=種。</p><p>　　2.3 高中學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合的基本特點(diǎn)</p><p>　?。?）高中生學(xué)習(xí)排列組合知識(shí)過(guò)程缺乏自己的探索</p><p>　　高中生學(xué)習(xí)排列組合知識(shí)以掌握系統(tǒng)的理性的間接經(jīng)驗(yàn)為主。間接經(jīng)驗(yàn)是指別人或前人所積累的經(jīng)驗(yàn)，它是人類在長(zhǎng)期的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中所創(chuàng)造的寶貴精神財(cái)富，是人類認(rèn)識(shí)世界

39、和改造世界的有利武器。掌握了間接經(jīng)驗(yàn)，高中生就能少走彎路，盡快地適應(yīng)社會(huì)生活。然而，間接經(jīng)驗(yàn)并非高中生親自實(shí)踐得來(lái)的，理解不深刻。因而學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合缺乏自己的探索，學(xué)后存在似懂非懂的現(xiàn)象。</p><p>　?。?）高中生難以找到解決排列組合問(wèn)題的突破口</p><p>　　一方面但排列組合內(nèi)容比較獨(dú)立，與前后知識(shí)聯(lián)系較少。問(wèn)題的解決主要依據(jù)分類原理和分步原理，其本身應(yīng)用的知識(shí)不多;另一

40、方面由于題目靈活多樣，比較抽象，不易切實(shí)理解、弄清問(wèn)題的真實(shí)含義。而且排列組合的解題方法也多樣，因而高中生難以找到排列組合問(wèn)題的突破口。</p><p>　?。?）高中生解決排列組合應(yīng)用題目的結(jié)果容易出現(xiàn)遺漏、重復(fù)錯(cuò)誤</p><p>　　排列組合應(yīng)用題目求解過(guò)程復(fù)雜，多數(shù)學(xué)生對(duì)做題步驟把握不準(zhǔn)，盲目照搬公式，容易導(dǎo)致另人難以察覺(jué)的計(jì)數(shù)錯(cuò)誤，而且計(jì)數(shù)結(jié)果數(shù)目較大，不易驗(yàn)證，很難糾正。所以高

41、中生解決排列組合應(yīng)用題目，結(jié)果容易出現(xiàn)遺漏、重復(fù)的錯(cuò)誤。</p><p>　　3 排列組合教與學(xué)的現(xiàn)狀調(diào)查</p><p>　　3.1 排列組合學(xué)習(xí)現(xiàn)狀調(diào)查</p><p>　　3.1.1 調(diào)查目的、對(duì)象、內(nèi)容、方法</p><p>　　為考察學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合知識(shí)時(shí)的現(xiàn)狀及在學(xué)習(xí)中存在的各種問(wèn)題，希望通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀的調(diào)查，更清晰的了

42、解排列組合的學(xué)習(xí)效果，并針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題提出解決策略。</p><p>　　我在實(shí)習(xí)的中學(xué)以及本人代課的中學(xué)對(duì)高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。(見(jiàn)附錄一)其中調(diào)查對(duì)象涉及省級(jí)重點(diǎn)和普通中學(xué)高二理科班和文科班各一個(gè)，其中參加測(cè)試?yán)砜瓢?59人，文科班167人，共326人參加調(diào)查。問(wèn)卷收回318份，有效問(wèn)卷316份。設(shè)計(jì)了十道調(diào)查題和三道應(yīng)用測(cè)試題目(見(jiàn)附錄一)。內(nèi)容囊括了學(xué)生學(xué)習(xí)目的、概念掌握、原理應(yīng)用等方面。&

43、lt;/p><p>　　調(diào)查時(shí)間是剛學(xué)完排列組合后兩周，在開(kāi)始總復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行的。在數(shù)學(xué)課堂上測(cè)試，時(shí)間15分鐘。體現(xiàn)了調(diào)查的客觀性、準(zhǔn)確性。并在調(diào)查問(wèn)卷中有部分題目前后聯(lián)系，可以此觀察到整個(gè)調(diào)查的真實(shí)性。除此由于樣品的選擇是隨機(jī)的，故調(diào)查結(jié)果具有一定的可信度。</p><p>　　3.1.2 調(diào)查分析</p><p>　?。?）三道測(cè)試題運(yùn)算類型調(diào)查分析</p&g

44、t;<p>　　為表示方便，記第10題的第一問(wèn)為，第二問(wèn)為，第二題第一問(wèn)為，第二問(wèn)為，第三題第一問(wèn)為，依次、(下同)</p><p><b>　　表1：</b></p><p>　　測(cè)試結(jié)果:對(duì)三道測(cè)試題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2。</p><p><b>　　表2</b></p><p>　　

45、（2）變量對(duì)解排列組合問(wèn)題的影響</p><p>　　考慮兩類因素:第一類是組合運(yùn)算(4個(gè)水平);第二類是元素類型(2個(gè)水平)、運(yùn)算類型(2個(gè)水平)</p><p><b>　　表3</b></p><p>　　變量對(duì)解排列組合問(wèn)題的影響調(diào)查統(tǒng)計(jì)表</p><p>　　從上表中可看出：在所測(cè)試的四種運(yùn)算中，學(xué)生解題困難的

46、順序(從小到大)是:重復(fù)排列—組合—先組后排—組合重復(fù)，說(shuō)明學(xué)生解有排列運(yùn)算的題要好于有組合運(yùn)算的題，尤其當(dāng)組合運(yùn)算中有重復(fù)時(shí)學(xué)生就更困難了(如題)。因此，不同的組合運(yùn)算對(duì)學(xué)生解題有影響。學(xué)生解只有一種組合運(yùn)算的問(wèn)題要好于有復(fù)合組合運(yùn)算的問(wèn)題。通過(guò)訪談得知，對(duì)于只有一種運(yùn)算的問(wèn)題，學(xué)生有時(shí)還可采用羅列的方法，如，而復(fù)合的組合運(yùn)算就不行，學(xué)生表示想不清楚了。</p><p>　?。?）分析主要錯(cuò)誤類型</p&

47、gt;<p><b>　　主要錯(cuò)誤類型:</b></p><p>　?、夙樞蝈e(cuò)誤:主要是混淆了排列和組合的區(qū)別，即對(duì)不管順序的元素區(qū)分了順序，對(duì)必須考慮順序的元素又忽略了順序。如題，由于每人3本書(shū)情況一樣，故就行了，但學(xué)生以為還要再乘;而題，由于每人書(shū)本數(shù)量不同，有順序之分，而學(xué)生又以為不必區(qū)分順序，只要就行了，不乘。</p><p>　?、谥貜?fù)錯(cuò)誤:不

48、該重復(fù)的時(shí)候重復(fù)，該重復(fù)的時(shí)候不重復(fù)。如題,，許多學(xué)生弄不清哪些有重復(fù)，哪些無(wú)重復(fù)。</p><p>　?、刍煜龑?duì)象類型:認(rèn)為相同的對(duì)象是不同的，或不同的對(duì)象是相同的。如題和，兩者是不同對(duì)象，但學(xué)生以為是相同的。</p><p>　?、芑煜龁卧愋?認(rèn)為可以區(qū)分相同的單元或不可以區(qū)別不同的單元。如題，有些學(xué)生并不區(qū)分誰(shuí)拿2本，誰(shuí)拿3本和誰(shuí)拿4本書(shū)。</p><p>

49、<b>　?。?）調(diào)查結(jié)論</b></p><p>　　調(diào)查統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):概念理解調(diào)查中第2題有81%的學(xué)生選擇了能分清分步、分類區(qū)別，調(diào)查第3題有63%能分清排列、組合問(wèn)題。但這與應(yīng)用調(diào)查的結(jié)果有差距，說(shuō)明學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵掌握不透徹，實(shí)際解題時(shí)概念應(yīng)用不十分準(zhǔn)確。調(diào)查第8題有51%的學(xué)生解題先想到的是解題方法，且在第7題的調(diào)查中顯示有60%的學(xué)生熟悉排列組合的解題方法，但應(yīng)用測(cè)試結(jié)果的正確率不高

50、。特別是調(diào)查第5題及第13題中顯示重復(fù)與遺漏現(xiàn)象比較常見(jiàn)，基本上每位學(xué)生都出現(xiàn)過(guò)。</p><p>　　通過(guò)調(diào)查分析，得到導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題的主要原因:</p><p>　?。?）組合運(yùn)算類型的多樣性。與順序、重復(fù)有關(guān)的一些錯(cuò)誤皆由此原因引起，尤其是復(fù)合組合運(yùn)算引起的因素更大，這也與學(xué)生所認(rèn)為的解題沒(méi)思路和弄不清用什么知識(shí)做是相一致的。</p><p>　　（2）組合

51、與重復(fù)排列之間的相似性和差異性。似是而非的題目中出現(xiàn)的錯(cuò)誤由此引起。這也與學(xué)生不明白相似題目的不同之處是一樣的。</p><p>　?。?）知識(shí)遷移的困難性。許多看似不同而實(shí)質(zhì)一樣的題目中出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是這個(gè)原因引起。學(xué)生不能很好地進(jìn)行知識(shí)遷移、類比解題，也表明這章知識(shí)遷移的困難，而以前所學(xué)的知識(shí)在這兒已無(wú)用處，也就是學(xué)生所認(rèn)為的不能像其他知識(shí)那樣直接代公式，這也解釋了為何理科相比于文科體現(xiàn)不出優(yōu)勢(shì)。</p&

52、gt;<p>　　3.2 排列組合教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查</p><p>　　3.2.1 調(diào)查目的、對(duì)象、內(nèi)容、方法</p><p>　　為考察教師在排列組合教學(xué)時(shí)的現(xiàn)狀及在教學(xué)實(shí)際情況中存在的問(wèn)題，我對(duì)高中教師進(jìn)行調(diào)查。(見(jiàn)附錄二)其中調(diào)查對(duì)象涉及省重點(diǎn)和普通中學(xué)的一線教師。調(diào)查問(wèn)卷共有60份，收回58份，有效問(wèn)卷56份，有效率為93%。</p><p>

53、　　問(wèn)卷包含10道問(wèn)題，其內(nèi)容囊括了排列組合教學(xué)的現(xiàn)狀、教學(xué)中存在的問(wèn)題、教師教學(xué)的目的以及排列組合教學(xué)的思考等方面?？梢钥吹秸麄€(gè)問(wèn)卷內(nèi)容對(duì)高中教師教學(xué)調(diào)查還是比較全面的，并在問(wèn)卷中有部分題目前后聯(lián)系，可以此觀察到整個(gè)調(diào)查的真實(shí)性。除此由于樣品的選擇是隨機(jī)的，故調(diào)查結(jié)果具有一定的可信度。</p><p>　　3.2.2 調(diào)查分析</p><p>　　通過(guò)對(duì)高中排列組合教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查的56份

54、有效問(wèn)卷的全面分析統(tǒng)計(jì)得到以下結(jié)果:基本所有的教師都認(rèn)為排列組合知識(shí)是高中階段的難點(diǎn)，有近40%的教師認(rèn)為教學(xué)的主要任務(wù)是迎接高考的選拔。這與學(xué)生的調(diào)查結(jié)果相符。在教學(xué)實(shí)踐中存在一下問(wèn)題:</p><p>　?。?）兩個(gè)原理與概念的講解不透徹。調(diào)查結(jié)果中有82.3%的教師認(rèn)為排列組合是高中階段的難點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程中有58.6%的教師選擇更注重概念講解。但結(jié)合學(xué)生的調(diào)查結(jié)果分析表明兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理沒(méi)有透徹理解，區(qū)分排列

55、組合的標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有很好地辨析清楚。兩個(gè)原理字面理解非常簡(jiǎn)單，學(xué)生讀完后可能認(rèn)為很清楚怎么做，因而不會(huì)提出疑意，教師自然認(rèn)為已經(jīng)交代清楚，繼續(xù)做幾道練習(xí)題就結(jié)束原理的講解，與有62.3%教師認(rèn)為學(xué)生的困難在原理應(yīng)用相吻合。然而問(wèn)題也產(chǎn)生了，對(duì)原理理解的不透徹，導(dǎo)致后面學(xué)習(xí)的困難。</p><p>　?。?）忽視了教學(xué)過(guò)程中前后知識(shí)聯(lián)系的重要性。集合是近代數(shù)學(xué)中最基本的概念，其理論與方法在數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用。有些排列組

56、合問(wèn)題，如果直接從排列組合的角度著手，很難找到解題方向，可考慮引進(jìn)集合，找到解題的突破口。但調(diào)查的幾位教師中，都沒(méi)有利用集合解決問(wèn)題。</p><p>　?。?）教師教學(xué)研究不夠，雖然有69.3%的教師認(rèn)為排列組合教學(xué)需要改革，只有11.5%的教師做過(guò)教學(xué)研究。</p><p>　　3.2.3 教學(xué)中常用的解題方法和策略</p><p>　　（1）合理分類與準(zhǔn)確分

57、步法</p><p>　　解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。</p><p>　　例如：五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有( )</p><p>　　A、120種 B、96種 C、78種 D、72種</p><p>

58、　　分析:由題意可先安排甲，并按其分類討論:1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有種排法;2)若甲在第二，三，四位上，則有種排法，由分類計(jì)數(shù)原理，排法共有+=78種，選C。</p><p>　　解排列與組合并存的問(wèn)題時(shí)，一般采用先選(組合)后排(排列)的方法解答。</p><p>　　例如:4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，恰有一空盒的方法有多少種?</p>&l

59、t;p>　　分析:因恰有一空盒，故必有一盒子放兩球。(1)選:從四個(gè)球中選2個(gè)有種，從4個(gè)盒中選3個(gè)盒有種;(2)排:把選出的2個(gè)球看作一個(gè)元素與其余2球共3個(gè)元素，對(duì)選出的3盒作全排列有種，故所求放法有種。</p><p>　?。?）插空法與捆綁法</p><p>　　對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。<

60、/p><p>　　例如：7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法?</p><p>　　分析:先將其余四人排好有種排法，再在這四個(gè)人之間及兩端的5個(gè)“空”中選三個(gè)位置讓甲乙丙插入，則有種方法，這樣共有種不同排法。</p><p>　　對(duì)于局部“小整體”的排列問(wèn)題，可先將局部元素捆綁在一起看作一個(gè)單元，與其余元素一同排列，然后再進(jìn)行局部排列。<

61、/p><p>　　例如:7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法?</p><p>　　分析:把甲、乙、丙三人看作一個(gè)“單元”，與其余4人共5個(gè)“單元”作全排列，有種排法，而甲、乙、丙之間又有種排法，故共有種排法。</p><p><b>　?。?）總體淘汰法</b></p><p>　　對(duì)于含有否定字眼的問(wèn)題

62、，可以從總體中把不符合要求的除去，此時(shí)需注意不能多減，也不能少減。</p><p>　　例如：用0,1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，其中3、5不能排在個(gè)位上，共有多少種排法？</p><p>　　分析：五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要除去，故有個(gè)偶數(shù)。</p><p><b>　　（4

63、）隔板法</b></p><p>　　例如：方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解?</p><p>　　分析:建立隔板模型:將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的n個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對(duì)應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有。</p><p>　　4 排列組合教學(xué)

64、的個(gè)案研究</p><p>　　教學(xué)實(shí)踐工作既是教學(xué)理論在具體教學(xué)環(huán)境中的運(yùn)用，又是對(duì)個(gè)人理解的一種反思和不斷修正的過(guò)程。它是該論文研究中必不可少的重要環(huán)節(jié)。下面本人以排列組合中的一些典型問(wèn)題為例說(shuō)明，希望能為學(xué)生學(xué)習(xí)、教師教學(xué)提供幫助，尋找到最優(yōu)的學(xué)習(xí)方法、教學(xué)途徑。</p><p>　　例如：某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分(如圖1)。現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種

65、一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有多少種?</p><p>　　解法一:吳老師(24年教齡)，以區(qū)域?yàn)橹饔?jì)數(shù)，應(yīng)先染相鄰區(qū)域最多的區(qū)域，這樣需分類的情況少，不易出錯(cuò)。由圖1知1號(hào)區(qū)的相鄰區(qū)域最多，其余區(qū)的相鄰區(qū)域相同，故先染1號(hào)區(qū)，再依次染其他區(qū)域。</p><p>　　解:設(shè)有A、B、C、D四種顏色，先染1號(hào)區(qū)域有4種染法;再染2號(hào)區(qū)域，只與1號(hào)區(qū)域相鄰，所以染色只需與

66、1號(hào)區(qū)域顏色不同，有3種染法。繼續(xù)染3號(hào)區(qū)域，只需與1號(hào)、2號(hào)區(qū)域顏色不同，有2種染法，則共有4×3×2=24種染法。這時(shí)，剩下1種顏色，還有3個(gè)區(qū)域沒(méi)有染。不妨設(shè)一種情況為1號(hào)區(qū)域染A色，2號(hào)區(qū)域染B色，3號(hào)區(qū)域染C色，此時(shí)4號(hào)區(qū)域可染B或D:若4號(hào)區(qū)域染了B色，則5號(hào)區(qū)域可以染C或D，剩下6號(hào)區(qū)域只有一種選擇，得l×2×l=2種。若4號(hào)區(qū)域染D且5號(hào)區(qū)域染C色時(shí)，6號(hào)區(qū)域只能染B色;若4號(hào)區(qū)域

67、染B且5號(hào)區(qū)域染B時(shí)，6號(hào)區(qū)域可染C或D，得l×(l×l+l×2)=3種。</p><p>　　所以當(dāng)1號(hào)區(qū)域、2號(hào)區(qū)域、3號(hào)區(qū)域染色確定時(shí)，4號(hào)區(qū)域、5號(hào)區(qū)域、6號(hào)區(qū)域有2+3=5種。總計(jì)得:4×3×2×5=120種。即得不同的栽種方法有120種。</p><p>　　解法二:閏老師(15年教齡):以顏色為主計(jì)數(shù)。用4種顏色染6

68、個(gè)區(qū)域，必有2個(gè)區(qū)域染單色，2對(duì)區(qū)域染重色。1號(hào)區(qū)域與其余5個(gè)區(qū)域相鄰，必為單色區(qū)域，其余5個(gè)區(qū)域再選1個(gè)為單色區(qū)域，所剩4個(gè)區(qū)域兩兩必為重色區(qū)域。</p><p>　　解:(1)1號(hào)區(qū)域?yàn)閱紊珔^(qū)，有4種染法。</p><p>　　(2)從其余5個(gè)區(qū)域中再選一個(gè)單色區(qū)域:，有3×=5×3=15種染法。</p><p>　　(3)剩余4個(gè)區(qū)域兩兩重

69、色的方法是唯一的，用剩余兩種染有2種染法(如:當(dāng)染完1號(hào)區(qū)域、2號(hào)區(qū)域后，則3號(hào)區(qū)域、4號(hào)區(qū)域、5號(hào)區(qū)域、6號(hào)區(qū)域中必是3號(hào)區(qū)域與5號(hào)區(qū)域同色，4號(hào)區(qū)域與6號(hào)區(qū)域同色。</p><p>　　綜上，由乘法原理得4×5×3×2=120種。</p><p>　　解法三:王老師(24年教齡)、高老師(16年教齡)以考慮區(qū)域是否能同色為主采取分類計(jì)數(shù)。</p>

70、;<p>　　分析:6個(gè)區(qū)域需用4種顏色染色，一定有區(qū)域染同樣顏色。如能適當(dāng)?shù)膶?個(gè)區(qū)域分成4部分，再將這4部分用給出的4種顏色染就可以了。那么重要的步驟是如何將6個(gè)區(qū)域分成4部分。</p><p>　　高老師的分類方法;尋找可染相同區(qū)域的分類。由于1號(hào)區(qū)域與任何區(qū)域都相鄰，故1號(hào)區(qū)域單獨(dú)染一色。再找同色區(qū)域。分類為:</p><p>　　一共分成了五類，每一類都將6個(gè)區(qū)域分

71、成了4個(gè)組，每組用一種顏色涂色有種，因此共有5×=120種。</p><p>　　雖然同樣以尋找可染同色區(qū)域，用分類計(jì)數(shù)原理為出發(fā)點(diǎn)。但是王老師思考過(guò)程并不完全一樣。在考慮到1號(hào)區(qū)域單獨(dú)涂色之外，結(jié)合圖形、顏色種數(shù)分析，必有另一區(qū)域單獨(dú)涂一色，由此分類方式為:</p><p>　　通過(guò)對(duì)于同一道題目的四種不同的教學(xué)方法、不同的思路，不同方式的講解，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)效果結(jié)果來(lái)分析:&l

72、t;/p><p>　　從題意分析是6個(gè)區(qū)域用4種不同顏色的花栽種，學(xué)生的慣用思維大多會(huì)從正面考慮，在所給區(qū)域內(nèi)染色，因此解法二雖然解題思路清晰，不難理解，但是從將4種不同顏色的花分配給6個(gè)區(qū)域的逆向思考方式，在解答時(shí)不容易被學(xué)生想到。</p><p>　　解法一在實(shí)踐教學(xué)中學(xué)生理解困難，解題容易出現(xiàn)問(wèn)題。第1、2區(qū)域理解很容易，在第3區(qū)域的選色中出現(xiàn)了困難。3號(hào)區(qū)域可能與1號(hào)區(qū)域取相同色，也可

73、能不同色。如必須將3號(hào)區(qū)域的染色方法總數(shù)確定下來(lái)，同學(xué)們大都拿不定主意。而此時(shí)很自然地想到分類，分類思想在初中、高一階段的教學(xué)中被多次運(yùn)用，所以在實(shí)際教學(xué)中分類講解更貼近學(xué)生的思考方式。</p><p>　　解法三中王老師與高老師兩者的分類表格從表面上看起來(lái)一樣，但從思考方式，教學(xué)方式上都是有差別的。首先都認(rèn)可1號(hào)區(qū)域與任何區(qū)域相鄰，1號(hào)區(qū)域單獨(dú)成組。之后開(kāi)始分剩余區(qū)域。前者高老師將能夠涂同樣顏色的區(qū)域分成一組，

74、分完后剩余一個(gè)區(qū)域單獨(dú)成組。后者王老師不但考慮了分組，而且還考慮了顏色個(gè)數(shù)。共四種顏色應(yīng)將6個(gè)區(qū)域分四組，所以除了1號(hào)區(qū)域單獨(dú)成組之外，根據(jù)圖2還應(yīng)有一個(gè)區(qū)域單獨(dú)成組。所以，1號(hào)區(qū)域分開(kāi)后先將另一個(gè)單獨(dú)成組選出來(lái)，再分同色組這樣就可以很好的避免了學(xué)生解答排列組合應(yīng)用題目常出現(xiàn)的重復(fù)與遺漏現(xiàn)象。</p><p>　　四位教師的教法都正確，都有可取之處，通過(guò)實(shí)際教學(xué)發(fā)現(xiàn)在分類的方法中王老師結(jié)合分析顏色的教學(xué)效果更好一

75、些，學(xué)生更容易理解、接受。并且只要抓住問(wèn)題本質(zhì)，理解問(wèn)題的內(nèi)涵意義，善用類比思想、歸納思想都可以采用分類方法都可以解決同類題目。</p><p>　　5 提高排列組合教學(xué)質(zhì)量的途徑與思考</p><p>　　5.1 遵循學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律，開(kāi)展有效教學(xué)</p><p>　　學(xué)生心理發(fā)展是一貫持續(xù)不斷的過(guò)程。每一個(gè)心理過(guò)程和個(gè)性心理特征都是逐漸地由較低水平向較高水

76、平發(fā)展，連續(xù)、有序、不斷地階段性發(fā)展是學(xué)生心理發(fā)展的基本特征，他們不斷地由具體形象思維向抽象思維過(guò)渡。</p><p>　　教師要遵循學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律，把數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授與數(shù)學(xué)心理體系的構(gòu)建結(jié)合起來(lái)，科學(xué)地指導(dǎo)學(xué)習(xí)活動(dòng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。</p><p>　　5.2 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率</p><p>　　興趣是人們探究某種事物或

77、從事某種活動(dòng)所表現(xiàn)出的特殊積極的個(gè)性傾向。這種個(gè)性傾向能使人們對(duì)某種事物給予優(yōu)先的注意，并且具有向往的心情。一個(gè)人的興趣愈濃，他的觀察就愈仔細(xì)，感知、思維、記憶、聯(lián)想等智力活動(dòng)就愈有成效。興趣是學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)中最活潑、最持久、最強(qiáng)烈的心理成分，是一切智力活動(dòng)的基礎(chǔ)。</p><p>　　教師應(yīng)主要把教學(xué)問(wèn)題寓于富有情趣的情境之中。從生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題讓

78、學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情。教師還可以在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容，選用生動(dòng)活潑、貼近學(xué)生生活的教學(xué)方法引起學(xué)生的興趣，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲。例如:講解排列時(shí)，可利用有趣的、學(xué)生感興趣的故事。</p><p><b>　　例如:免費(fèi)的午餐</b></p><p>　　十名少年?duì)幾?，飯店老板打圓場(chǎng):“大家隨便來(lái)就座，免費(fèi)午餐等著你。</

79、p><p>　　今天座序我記下，下次聚餐再變序，次次變序有時(shí)盡，那天座序如今日，</p><p>　　免費(fèi)午餐我招待，天天免費(fèi)好飯菜。君子協(xié)議今執(zhí)行，一諾千金兌諾言?！?lt;/p><p>　　免費(fèi)午餐吃不到，原因何在君知否?</p><p>　　假設(shè)人數(shù)只有3人，不妨記為A，B，C，則3個(gè)人有6種座次:ABC，ACB，</p><

80、;p>　　BAC，BCA，CAB，CBA，即3個(gè)人有l(wèi)×2×3=6種不同的座次。把4個(gè)人記為A，B，C，D可以排出24種不同的座序，即4個(gè)人有l(wèi)×2×3×4=24種座序。依次類推，則10個(gè)人有l(wèi)×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800種不同的座序。若大家一天換一種座序，也必須吃到

81、3628800天后，才能吃到免費(fèi)午餐。我們以一年365天計(jì)算，3628800天大約是9942年。根據(jù)常識(shí)判斷，人不可能如此長(zhǎng)壽，所以“免費(fèi)午餐” 吃不到。</p><p>　　類似的這些有趣的小故事增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。除此之外，教師語(yǔ)言應(yīng)形象生動(dòng)、富有情趣、幽默，要不斷的揭示矛盾，用數(shù)學(xué)的魅力激勵(lì)學(xué)生保持高漲的求知欲望。教師還可以安排既嚴(yán)謹(jǐn)又活潑的教學(xué)結(jié)構(gòu)，形成熱烈和諧的氛圍，使學(xué)生積極主動(dòng)、心情愉快地學(xué)習(xí)，充

82、分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。</p><p>　　5.3 針對(duì)排列組合的不同問(wèn)題，靈活選擇教學(xué)策略</p><p>　　用分類的加法原理、分步的乘法原理來(lái)解決有序的排列問(wèn)題、無(wú)序的組合問(wèn)題構(gòu)成本章的核心內(nèi)容。盡管在教學(xué)活動(dòng)中，我們會(huì)一起研討排隊(duì)、排數(shù)、排課、分堆等經(jīng)典問(wèn)題，一起演繹捆綁、插空、排除等方法技巧，但由于這類的問(wèn)題頭緒繁雜，問(wèn)題結(jié)果較難驗(yàn)證，不得不承認(rèn)無(wú)論是教的還是學(xué)的都不是

83、很放心。</p><p>　　5.3.1 指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)</p><p>　　遇到新問(wèn)題情景，不少學(xué)生常希望套用范例的辦法應(yīng)付，如問(wèn)題稍有改變，往往束手無(wú)策。若能將問(wèn)題解決設(shè)計(jì)一種程序，則會(huì)有很大幫助。</p><p>　　例如:從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4名參加4×100米接力，若其中甲、乙兩人都不能跑第3棒，共有多少種參賽方法?</p>&l

84、t;p>　　分析:問(wèn)題是6選4參加接力，其結(jié)果是;加上甲、乙兩人都不能跑第3棒的要求后，有可能產(chǎn)生依照出場(chǎng)次序的解題思路;由于甲、乙兩人中選與否沒(méi)有定論，也可能由此產(chǎn)生根據(jù)甲、乙中選進(jìn)行分類的另一種解題思路，能否先選人跑第3棒?</p><p>　　程序設(shè)計(jì):(1)誰(shuí)跑第3棒有種方法;(2)從剩下5人中選3人跑剩余3棒，有種方法，由乘法原理共有種不同的參賽方法。</p><p>　　

85、5.3.2 教師還應(yīng)能夠創(chuàng)立情景，建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。</p><p>　　數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系客觀世界與數(shù)學(xué)的橋梁。廣義地看，一切數(shù)學(xué)概念、公式、理論體系、算法系統(tǒng)都可稱為數(shù)學(xué)模型，如:算術(shù)是計(jì)算盈虧的模型，幾何是物體外形的模型等。狹義地看只有反映特定問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型方法是針對(duì)要解決的問(wèn)題來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究去解決實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法。</p

86、><p>　　初學(xué)排列、組合時(shí)，就是讓學(xué)生盡快地由“過(guò)程”轉(zhuǎn)化為“對(duì)象”，要能把一個(gè)具體的事件抽象為排列模型或組合模型。例如:從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土壤的3塊土地上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，有多少種不同的種植方法?就會(huì)出現(xiàn)兩種思維:一是，一是。其運(yùn)算雖然都不復(fù)雜，但前者思維較零碎，注重的是事件的過(guò)程;后者思維更整體，能把整個(gè)事件看作一個(gè)對(duì)象。</p><p>　　例如:某單位工會(huì)活動(dòng)進(jìn)行文藝

87、演出，節(jié)目單上已排好10個(gè)節(jié)目，現(xiàn)因?yàn)槟撤N原因還需再增加3個(gè)節(jié)目，并要求原來(lái)排定的10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，節(jié)目單有多少種不同的排法?</p><p>　　思維1:3個(gè)節(jié)目分成3種情況插入到10個(gè)節(jié)目的11個(gè)空位上。(l)3個(gè)節(jié)目不</p><p>　　相鄰，有種;(2)3個(gè)節(jié)目恰有兩個(gè)相鄰，有;(3)3個(gè)節(jié)目相鄰，有種，三種情況的總和是最后的結(jié)果。</p><p>

88、;　　思維2:后加進(jìn)的3個(gè)節(jié)目與之前的10個(gè)節(jié)目總共13個(gè)節(jié)目作為一個(gè)整體，給3個(gè)節(jié)目在13個(gè)位置中找到3個(gè)位置后，剩下的位置就是原來(lái)10個(gè)節(jié)目的位置,共有種。</p><p>　　同樣，前者注重具體事件的過(guò)程，后者在整體上把握事件的本質(zhì)。如果此問(wèn)題進(jìn)一步一般化:在N個(gè)己排好的元素之間任意插入M個(gè)元素，求不同的排法種數(shù)。如果只用思維模型1則無(wú)法完成任務(wù)，如果整體上把握，M個(gè)元素?zé)o順序區(qū)別則結(jié)果為，M個(gè)元素有順序的

89、區(qū)別則結(jié)果為。</p><p>　　在排列組合中有這樣一道大家熟知的題目:4封信往3個(gè)信箱投，共有多少種不同的投法?此題的原意是考察乘法原理的應(yīng)用，在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生還是容易接受的。具體解法是:每封信都有4種投法，分4步，每步投一封信，只有4步都完成這件事情才算完成，由乘法原理可知，共有投法=81種。當(dāng)然為了加深對(duì)此方法的理解，還可以把問(wèn)題改變?yōu)?3封信往4個(gè)信箱里投，共有多少種不同的投法?通過(guò)學(xué)生思考得出結(jié)果

90、為=64。通過(guò)兩者比較對(duì)解決這種問(wèn)題有了一定的理解。但我想，這樣的層面還不夠高，數(shù)學(xué)味道還不夠濃。因此我就把這類問(wèn)題抽象為純數(shù)學(xué)問(wèn)題—映射的個(gè)數(shù)問(wèn)題。建立了數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　下面再引出實(shí)例:集合A中有4個(gè)元素，集合B中有3個(gè)元素，問(wèn)從集合A到集合B的映射有多少個(gè)?由前面的思考過(guò)程可以看出，每一種投法就對(duì)應(yīng)找從A到B的一個(gè)映射，因此有多少種投法就有多少個(gè)不同的映射，因此共有映射個(gè)。另一方面，從B到A的

91、映射的個(gè)數(shù)就是上面的第二個(gè)問(wèn)題，共有個(gè)。此例的引入，我認(rèn)為有兩個(gè)重要作用:一是很好地理解了映射的概念。我們知道，映射是學(xué)生最不容易理解的概念之一，而在此過(guò)程中，前面的實(shí)例實(shí)際上就是給映射概念的講授創(chuàng)設(shè)了很好的問(wèn)題情境，因此學(xué)生接受起來(lái)很自然、易理解。同時(shí)兩個(gè)實(shí)例的對(duì)比使學(xué)生對(duì)映射概念的理解更深了。二是把一個(gè)具體問(wèn)題一般化、抽象化，演繹成一個(gè)數(shù)學(xué)模型。這種意識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。這樣就使得我們能夠在高觀點(diǎn)下處理問(wèn)題，可

92、以把相關(guān)問(wèn)題歸納到這個(gè)模型中來(lái)。這是很好的思維習(xí)慣，這樣才真正達(dá)到了數(shù)學(xué)由“死”到“活”的境界。</p><p>　　通過(guò)以上過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維習(xí)慣，逐步認(rèn)識(shí)由特殊—一般(模型)—應(yīng)用的認(rèn)識(shí)規(guī)律，提高了思維層次。堅(jiān)持下去，確實(shí)能提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。</p><p>　　6 反思與研究展望</p><p>　　6.1 研究存在的不足</

93、p><p>　　本課題雖然完成了研究計(jì)劃，從理論與實(shí)踐兩個(gè)方面進(jìn)行了一些探究，但由于自身理論水平和實(shí)踐等主客觀條件的局限，仍存在許多不足，這些問(wèn)題也是本課題進(jìn)一步研究的方向，表現(xiàn)在:</p><p>　　(一)由于本人的理論和實(shí)踐水平有限，研究能力不夠，排列組合教學(xué)的研究還不成熟。</p><p>　　(二)本研究主要涉及課堂教學(xué)，對(duì)排列組合課外的活動(dòng)教學(xué)的研究較少，還

94、有待于進(jìn)一步研究。</p><p>　　(三)智慧技能的教學(xué)是學(xué)校教學(xué)的中心任務(wù).著名認(rèn)知心理學(xué)家加涅認(rèn)為，智慧技能主要涉及概念和規(guī)則的掌握與運(yùn)用，它由簡(jiǎn)單到復(fù)雜構(gòu)成一個(gè)階梯式的層級(jí)關(guān)系。為加強(qiáng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層級(jí)性，是否能在實(shí)踐教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況調(diào)整教材內(nèi)容順序，還需進(jìn)一步的思考。</p><p>　　6.2 研究的前景展望</p><p>　　為了迎接21

95、世紀(jì)的挑戰(zhàn)，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育，一方面要在基礎(chǔ)知識(shí)、基本訓(xùn)練方面為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ);另一方面，要著力培養(yǎng)學(xué)生具有探索和創(chuàng)造精神，具有分析和解決問(wèn)題能力，具有把紛繁復(fù)雜的自然現(xiàn)象和社會(huì)行為等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以論證和評(píng)估的能力。</p><p>　　通過(guò)該論文的研究我們相信，排列組合教學(xué)的改進(jìn)問(wèn)題一定會(huì)受到廣大一線教師的重視和關(guān)注。前進(jìn)的道路上我們還會(huì)遇到新的問(wèn)題，需要我們繼續(xù)努力解決。為全面提高年輕一代的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提

96、高全民族素質(zhì)，造就一代高質(zhì)量的新型人才我愿貢獻(xiàn)自己的一份力量!</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]CHAKRAYARIG.Growth and development of permutations and combinatorics in india[J].Bull Calcutta Mathsoe，1932，(24)：3-7.

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101、2-95.</p><p>　　[14]邵瑞珍.教育心理學(xué)[M].上海:上海教育出版社，1997，6：101-103.</p><p>　　[15]孫名符.數(shù)學(xué)教育學(xué)原理[M].北京:科學(xué)出版社，1996：34-37.</p><p>　　[16]江素萍.數(shù)學(xué)建模的教育價(jià)值[J].中學(xué)教研，2003，(7)：79-80.</p><p>　　

102、[17]張德勤.數(shù)學(xué)解題中的模型化思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)， 2000，(4)：35-38.</p><p>　　[18]徐騁.排列組合探微[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005，(10):24-27.</p><p>　　[19]劉曉平.分步計(jì)數(shù)中的重復(fù)與遺漏[J].數(shù)學(xué)通報(bào)， 2004，(4)：27-29.</p><p>　　[20]呂佐良.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理導(dǎo)學(xué)[J].中學(xué)生

103、數(shù)學(xué)， 2004，(9)：17-19.</p><p><b>　　附錄一：</b></p><p>　　高中生排列組合學(xué)習(xí)現(xiàn)狀的問(wèn)卷調(diào)查</p><p>　　1、你對(duì)排列組合學(xué)習(xí)是否有興趣()</p><p>　　A、非常有B、有C、說(shuō)不清楚D、無(wú)</p><p>　　2、你能分

104、清加法原理、乘法原理的本質(zhì)區(qū)別嗎()</p><p>　　A、能B、不能C、說(shuō)不清</p><p>　　2、在解決新問(wèn)題時(shí)，你是否能很快地區(qū)分是組合還是排列問(wèn)題？</p><p>　　A、能B、不能C、說(shuō)不清</p><p>　　3、分析問(wèn)題時(shí)能否正確確定研究對(duì)象？</p><p>　　A、能B、

105、不能C、說(shuō)不清</p><p>　　5、在解決新問(wèn)題時(shí)，你經(jīng)常有重復(fù)和遺漏的問(wèn)題出現(xiàn)嗎？</p><p>　　A、經(jīng)常B、不經(jīng)常C、沒(méi)有出現(xiàn)</p><p>　　6、你學(xué)習(xí)排列組合的動(dòng)機(jī)是什么？</p><p>　　A、有興趣B、迎接高考，爭(zhēng)取好成績(jī)</p><p>　　C、為學(xué)習(xí)后面的知識(shí)做準(zhǔn)備D

106、、其他</p><p>　　7、你熟悉排列組合中的一些解題方法嗎？</p><p>　　A、非常熟悉B、熟悉C、不熟悉D、沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)</p><p>　　8、解決問(wèn)題時(shí)，你首先想到的是概念還是解題方法？</p><p>　　A、前者B、后者C、其他</p><p>　　9、學(xué)習(xí)了排列組合知識(shí)，你是否能

107、將所學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)？</p><p>　　A、能B、不能C、說(shuō)不清</p><p>　　10、五名學(xué)生報(bào)名，參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)有 種，若他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能有 種。</p><p>　　A、4×5B、C、D、E、</p><p>　　11

108、、從3所學(xué)校選送4名學(xué)生去大學(xué)學(xué)習(xí)，每校至少1名，則不同的分配方法有 種，把4名學(xué)生分別推薦到3所大學(xué)去學(xué)習(xí)，每校至少1名，則不同的分配方法有 種。</p><p>　　A、3B、12C、24D、36E、72</p><p>　　12、9本不同的書(shū)，(1)平均分給甲、乙、丙三人的種數(shù)有 種;(2)平均分成三堆的種數(shù)有 種:(3)分給甲、乙、丙

109、三人，其中一人2本，一人3本，一人3本，一人4本的種數(shù)有 種。</p><p>　　A、10080B、7560C、1680D、1260E、280</p><p>　　13、你覺(jué)得做排列組合題感到困難的原因是 :</p><p>　　A、題目不懂B、想不出解題的思路</p><p>　　C、弄不清題目

110、是用什么知識(shí)去做D、其他原因，如 </p><p><b>　　E、容易做，不難。</b></p><p><b>　　附錄二:</b></p><p>　　高中排列組合教學(xué)現(xiàn)狀的問(wèn)卷</p><p>　　1、您從事高中數(shù)學(xué)的教齡()</p><p>　　

111、A、10年以下B、10年—20年C、20年—30年</p><p>　　2、您認(rèn)為當(dāng)前排列組合教學(xué)的主要任務(wù)是()</p><p>　　A、發(fā)展學(xué)生的思維能力、思想方法B、迎接高考的選拔</p><p>　　C、傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)D、沒(méi)有思考過(guò)</p><p>　　3、您認(rèn)為排列組合教學(xué)是高中教學(xué)階段的難點(diǎn)嗎?()</

112、p><p>　　A、是B、不是C、說(shuō)不清</p><p>　　4、您認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合的困難在于()</p><p>　　A、概念理解B、原理應(yīng)用C、說(shuō)不清</p><p>　　5、在排列組合的教學(xué)過(guò)程中，您是更注重概念講解還是應(yīng)用方法講解()</p><p>　　A、前者B、后者</p