微分方程精確解及李對(duì)稱符號(hào)計(jì)算研究.pdf

1、以物理學(xué)中的問題為背景的非線性微分方程的研究是當(dāng)代非線性科學(xué)的一個(gè)重要方面.創(chuàng)造和發(fā)展非線性微分方程新的求解方法是非線性物理最前沿的研究課題之一.目前,已經(jīng)存在許多的獲得非線性微分方程的精確解的方法.該文對(duì)一些求解方法進(jìn)行了研究,特別是Lie對(duì)稱方法,分析并改進(jìn)了前人的理論和算法,并在計(jì)算機(jī)符號(hào)系統(tǒng)Maple上給出了相應(yīng)的實(shí)現(xiàn).這些理論、算法、實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性微分方程的精確解構(gòu)造是十分有益的.我們對(duì)已有的求解方法,如雙曲正切法、Jacobi

2、橢圓函數(shù)展開法、假設(shè)法等進(jìn)行了改進(jìn)和推廣,并利用改進(jìn)后的方法結(jié)合中國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊的數(shù)學(xué)機(jī)械化思想,針對(duì)一些微分方程獲得了一些新的精確解.這些解的發(fā)現(xiàn)將有助于弄清物質(zhì)在非線性作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,對(duì)相應(yīng)物理現(xiàn)象的科學(xué)解釋起到重要作用.但是上述方法比較分散、不系統(tǒng).眾所周知,Lie群方法將求解特定類型的微分方程的分散的積分方法統(tǒng)一到共同的概念之下.實(shí)際上,Lie無(wú)窮小變換方法為尋找常微分方程的閉合形式的解提供了廣泛的應(yīng)用技巧.應(yīng)用到偏微分方

3、程,Lie方法能夠?qū)С鰧?duì)稱.找到偏微分方程的對(duì)稱,可以由此獲得其精確解.目前,對(duì)稱的概念在數(shù)學(xué)和物理的研究和發(fā)展中扮演著關(guān)鍵的角色.但具體到應(yīng)用時(shí),Lie群的方法涉及到大量的繁冗計(jì)算,因此,設(shè)計(jì)相關(guān)的計(jì)算機(jī)符號(hào)軟件包非常有必要.我們討論了經(jīng)典Lie對(duì)稱和非經(jīng)典Lie對(duì)稱計(jì)算中的有關(guān)理論和算法,分別給出了產(chǎn)生經(jīng)典Lie對(duì)稱和非經(jīng)典Lie對(duì)稱決定方程組的軟件包GDS和NGDS,發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)行Maple系統(tǒng)上軟件包liesymm的一些漏洞.由于決

4、定方程組是超定的、線性的或非線性的偏微分方程組,完全求解它們非常困難.通過引入對(duì)合除法的概念,將它們完備化為內(nèi)嵌所有可積性條件的一種特殊形式-對(duì)合形式,這樣有助于求解決定方程組.對(duì)經(jīng)典對(duì)稱情形,我們分析和重新描述了計(jì)算線性偏微分方程組的最小對(duì)合基算法和Janet對(duì)合基算法,并給出了各自實(shí)現(xiàn)的軟件包MiniIB和Janet.將軟件包GDS和Janet相結(jié)合研究了廣義Burgers方程的勢(shì)對(duì)稱,得到了其無(wú)窮參數(shù)的勢(shì)對(duì)稱,并利用此無(wú)窮參數(shù)勢(shì)對(duì)

5、稱獲得了廣義Burgers方程一個(gè)新的精確解.對(duì)于非經(jīng)典對(duì)稱情形,我們描述和改進(jìn)了完備化非線性代數(shù)偏微分方程組到被動(dòng)的對(duì)合形式的對(duì)合特征集算法.這個(gè)算法包含了已有的乘子變量法,例如基于Janet除法的Ritt算法和基于Thomas除法的Wu微分特征列算法.最近一些新的對(duì)合除法以及算法的相繼提出,可明顯減少Wu-Ritt特征列算法的計(jì)算步驟.基于對(duì)合特征集算法,我們給出了具體的實(shí)現(xiàn)軟件包ICS.通過大量的計(jì)算試驗(yàn),我們分析了此算法對(duì)不同等