環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性與分岔分析.pdf

1、該學(xué)位論文主要論述具自反饋和時滯的環(huán)狀連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和分岔,該網(wǎng)絡(luò)具有on-center off-surround性質(zhì),并且能夠通過李群來刻畫它的對稱性.這種網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)在許多神經(jīng)結(jié)構(gòu)中,例如大腦皮層、小腦和海馬之中,甚至于出現(xiàn)在化學(xué)和電力設(shè)計(jì)之中.通過研究環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以了解循環(huán)網(wǎng)絡(luò)的基本機(jī)理.毫無疑問,系統(tǒng)的信號傳輸?shù)臅r間延遲和空間結(jié)構(gòu)(指關(guān)于二面體群D<,n>作用下的不變性)所引起的無限維性質(zhì)研究是一項(xiàng)很困難的任務(wù).關(guān)于對稱時滯

2、微分方程中的周期解的存在性和全局持續(xù)存在性,現(xiàn)在已有一些一般性的理論.然而,將這些一般性的結(jié)果應(yīng)用到具有on-center off-surround性質(zhì)的具體系統(tǒng)中去,卻包含著很多不平凡的的內(nèi)容:(i)特征方程通常是超越的并且依賴于參數(shù)的變化,很難分析它的零點(diǎn)分布;(ii)線性化系統(tǒng)所產(chǎn)生的連續(xù)半群的無窮小生成元的廣義特征空間的對稱性分析,以及將該廣義特征空間與D<,n>的某兩個恒同的絕對不可約表示的直和等同起來;(iii)在一般的Ho

3、pf分岔理論中,與通常的橫截性條件相應(yīng)的橫越數(shù)的計(jì)算;(iv)周期解的范數(shù)以及周期的界估計(jì).該論文主要研究內(nèi)容如下:第一,通過分析相應(yīng)的超越特征方程來研究模型線性的穩(wěn)定性.借助于空間分解,我們巧妙地討論了特征方程零點(diǎn)的分布,并且導(dǎo)出保證所有的特征根具有負(fù)實(shí)部的一些充分條件,即使得該模型是漸近穩(wěn)定的.第二,借助于一般的Hopf分岔理論,我們獲得分岔周期解和它的大范圍存在性.利用正規(guī)型和中心流形的計(jì)算,我們推導(dǎo)了一些公式來判斷環(huán)狀連接神經(jīng)網(wǎng)

4、絡(luò)模型分岔出的周期解的性質(zhì),例如Hopf分岔方向與穩(wěn)定性等等.第三,在某些適當(dāng)?shù)臈l件下,系統(tǒng)存在由純量時滯微分方程所刻畫的慢振動同步周期解.即使純量時滯微分方程的慢振動周期解是穩(wěn)定的,但是利用Floquet理論以及Krein-Rutmann定理,我們可以證明當(dāng)系統(tǒng)足夠大時,對應(yīng)的慢振動同步周期解都是不穩(wěn)定的.第四,由時滯微分方程的對稱分岔理論并結(jié)合二面體群的表示理論,我們不僅在模式形成上調(diào)查了信號傳播的突觸產(chǎn)生時滯的效果,而且獲得了多個