自相關(guān)系數(shù)不全為1的最優(yōu)(n,｛3,4,5｝,Λα,1,Q)——OOCs的界和構(gòu)造.pdf

1、1989年Salehi提出了光正交碼(Optical Orthogonal Code，OOC)的概念，它作為一種簽名序列應(yīng)用于光碼分多址(Optical Code Division Multiple Access，OCDMA)系統(tǒng).由于光正交碼（常重量）不能滿足多種服務(wù)質(zhì)量(QoS)的需求，Yang于1996年引入變重量光正交碼(Variable-Weight Optical Orthogonal Code，VWOOC)用于多媒體光碼分

2、多址(OCDMA)系統(tǒng).由于不同重量的碼字具有不同的誤碼率(BER)，高重量的碼字誤碼率低，低重量的碼字誤碼率高.從而，光碼多分址(OCMDA)系統(tǒng)能分配高重量的碼字給需要高服務(wù)質(zhì)量的用戶，低重量的碼字給需要低服務(wù)質(zhì)量的用戶.因此，變重量光正交碼能夠滿足多種服務(wù)質(zhì)量的需求.
　　令n，λc為正整數(shù)，W={w1，w2,…，wr}為正整數(shù)集合，Λa=（λa(1），λa(2）,…，λa(r)）為正整數(shù)數(shù)組，Q=(q1，q2，…，qr)為

3、正有理數(shù)數(shù)組且∑qi=1.（n，W,Λa，λc，Q）變重量光正交碼C(簡記為(n，W,Λa，λc，Q)-OOC)是一簇長為n的0，1序列（碼字），并且滿足以下三個(gè)性質(zhì):
　　1.碼字重量分布C中所有碼字的漢明重量均在集合W中，且C恰有qi|C|個(gè)重量為wi的碼字，1≤i≤r，即qi為重量等于wi的碼字占總碼字個(gè)數(shù)的百分比;
　　2.周期自相關(guān)性對任意x=(x0，x1，…，xn-1)∈C，其漢明重量wk∈W，整數(shù)τ，0＜τ＜n

4、，n-1∑i=0 xixi⊕τ≤λa(k），1≤k≤r;
　　3.周期互相關(guān)性對任意x≠y，x=(x0，x1,…，xn-1)∈C，y=(y0，y1，…，yn-1)∈C，整數(shù)τ，0≤τ＜n，n-1∑i=0xiyi⊕τ≤λc，上述符號⊕表示對n取模.
　　若λa(1)=λa(2)=…=λa(r)=λa，我們將(n，W,Λa，λc，Q)-OOC記為(n，W,λa，λc，Q)-OOC;若λa=λc=λ，則記為(n，W,λ，Q)-OO

5、C.若Q=（a1/b，a2/b,…，ar/b）且gcd(a1，a2，…，ar)=1，則稱Q是標(biāo)準(zhǔn)的，顯然b=r∑i=1ai.若Q=（1/r，1/r,…，1/r)，則稱為平衡的（n，W,Λa，λc）-OOC.
　　令Φ(n，W,Λa，λc，Q)=max{|C|:C是(n，W,Λa，λc，Q)-OOC}.關(guān)于變重量光正交碼的碼字個(gè)數(shù)，Buratti等人給出以下上界:
　　若Q=（a1/b，a2/b,…，ar/b）是標(biāo)準(zhǔn)的，則有-

6、1.Φ（n，W,1，Q）≤br([)n-1/r∑i=1aiwi(wi-1)(]).
　　對于給定的n，W，Λa，λc和Q，若C的碼字個(gè)數(shù)Φ（n，W,Λa，λc，Q）達(dá)到最大值，則稱(n，W,Λa，λc，Q)-OOC是最優(yōu)的.
　　關(guān)于最優(yōu)(n，W,1，Q)-OOCs存在性的研究已有一些結(jié)果.就作者所知，對于自相關(guān)系數(shù)不等的最優(yōu)變重量光正交碼存在性的研究，當(dāng)Λa≠(1，1)，W={3，4}，{3，5}時(shí)，最優(yōu)(n，W,Λa，1

7、，Q)-OOCs的構(gòu)造有一些結(jié)果;而當(dāng)|W|=3，Λa≠(1，1，1)時(shí)，最優(yōu)(n，W,Λa，1，Q)-OOCs的構(gòu)造目前還沒有結(jié)果.本文研究當(dāng)W={3，4，5}，Λa=(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)時(shí)，(n，W,Λa，1，Q)-OOCs碼字個(gè)數(shù)的上界和相應(yīng)的最優(yōu)(n，W,Λa，1，Q)-OOCs的構(gòu)造.對于(n，W,Λa，1，Q)-OOCs碼字個(gè)數(shù)的上界的研究，得到如下定理:
　　定理1.1若n=

8、2ru，gcd(u，2)=1且Q=（a1/b，a2/b，a3/b）是標(biāo)準(zhǔn)的，則有Φ(n,{3,4,5},(2,1,1),1,Q)≤{b([)n-1/Δ211」，gcd(n，4)=1，2;b([)n/Δ211」，gcd(n，4)=4，其中Δ211=4a1+12a2+20a3.
　　定理1.2若n=2m3r7s11tu，gcd(n，462)=1且Q=（a1/b，a2/b，a3/b）是標(biāo)準(zhǔn)的，則有Φ(n,{3,4,5},(2,1,2),

9、1,Q)≤{ b([)n+4/Δ212」,gcd(n,924)=924;b([)n+3/Δ212」,gcd(n,924)=132;b([)n+2/Δ212」,gcd(n,924)=44,84,154,308,462;b([)n+1/Δ212」,gcd(n,924)=11,12,22,33,66,77,231;b([)n/Δ212」,gcd(n,924)=4,14,28,42;b([)n-1/Δ22」,gcd(n,924)=1,2,3,6

10、,7,21,其中Δ212=4a1+12a2+12a3.
　　定理1.3若n=2m7ru，gcd(u，14)=1且Q=（a1/b，a2/b，a3/b）是標(biāo)準(zhǔn)的，則有Φ(n,{3,4,5},(2,2,1),1,Q)≤{b([)n-1/Δ221」,gcd(n,28)=1;b([)n/Δ221」,gcd(n,28)=2,4;b([)n+1/Δ221」,gcd(n,28)=7;b([)n+2/Δ221」,gcd(n,28)=14,28,其中

11、Δ221=4a1+8a2+20a3.
　　定理1.4若n=2m3r7s11tu，gcd(n，462)=1且Q=（a1/b，a2/b，a3/b）是標(biāo)準(zhǔn)的，則有Φ（n，{3,4,5}，(2,2,2),1,Q)≤{ b([)n+6/Δ222」,gcd(n,924)=924;b([)n+4/Δ222」,gcd(n,924)=84,132,154,308,462;b([)n+3/Δ222」,gcd(n,924)=77,231;b([)n+2

12、/Δ222」,gcd(n,924)=12,14,22,28,42,44,66;b([)n+1/Δ222」,gcd(n,924)=7,11,21,33;b([)n/Δ222」,gcd(n,924)=2,4,6;b([)n-1/Δ222」,gcd(n,924)=1,3,其中Δ222=4a1+8a2+12a3.
　　本文對Λa=(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，運(yùn)用分圓陪集，斜Starter以及二次剩余的相

13、關(guān)知識來討論最優(yōu)(n，{3，4，5}，Λa，1，Q)-OOCs的存在性，并得到以下結(jié)果:
　　定理1.5設(shè)p≡5(mod8)為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)平衡（9p，{3，4，5}，(2，1，1)，1)-OOCF.當(dāng)p≥13時(shí)F是9-正則的.
　　定理1.6設(shè)p≡5(mod8)為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)平衡（7p，{3，4，5}，(2，1，2)，1)-OOCF.當(dāng)p≥13時(shí)F是7-正則的.
　　定理1.7設(shè)p≡5(mod8)為質(zhì)數(shù)，則存在

14、最優(yōu)平衡（8p，{3，4，5}，(2，2，1)，1)-OOCF.當(dāng)p≥13時(shí)F是8-正則的.
　　定理1.8設(shè)p≡5(mod8)為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)12-正則平衡(12p，{3，4，5}，(2，2，2)，1)-OOC.
　　定理1.9設(shè)在Zv上存在斜Starter且gcd(v，5)=1，則存在最優(yōu)20-正則(20v，{3，4，5}，(2,1,1),1,(1/2,1/4,1/4))-OOC.
　　定理1.10設(shè)p≡5(mo

15、d8)為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(8p，{3，4，5}，(2，1，2)，1，(1/2，1/4，1/4))-OOCF.當(dāng)p≥13時(shí)F是8-正則的.
　　定理1.11設(shè)p≡5(mod8)為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(9p，{3，4，5}，(2，2，1)，1，(1/2，1/4，1/4))-OOC F.當(dāng)p≥13時(shí)F是9-正則的.
　　定理1.12設(shè)在Zv上存在斜Starter且gcd(v，7)=1，則存在最優(yōu)14-正則(14v，{3，4，5},(2

16、,2,2),1,(1/2,1/4,1/4))-OOC.
　　定理1.13設(shè)在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)24-正則(24v，{3，4，5}，(2，1，1)，1，(1/4，1/2，1/4))-OOC.
　　定理1.14設(shè)在Zv上存在斜Starter且gcd(v，5)=1，則存在最優(yōu)20-正則(20v，{3，4，5},(2,1,2),1,(1/4,1/2,1/4))-OOC.
　　定理1.15設(shè)在Zv上存在斜St

17、arter且gcd(v，5)=1，則存在最優(yōu)20-正則(20v，{3，4，5},(2,2,1),1,(1/4,1/2,1/4))-OOC.
　　定理1.16設(shè)p≥3為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(16p，{3，4，5}，(2，2，2)，1，(1/4，1/2，1/4))-OOCF.當(dāng)p≥5時(shí)F是16-正則的.
　　定理1.17設(shè)p≥3為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(28p，{3，4，5}，(2，1，1)，1，(1/4，1/4，1/2))-OOCF.當(dāng)

18、p≥5時(shí)F是28-正則的.
　　定理1.18設(shè)p≡5(mod8)為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(10p，{3，4，5}，(2，1，2)，1，(1/4，1/4，1/2))-OOCF.當(dāng)p≥13時(shí)F是10-正則的.
　　定理1.19設(shè)p≥3為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(26p，{3，4，5}，(2，2，1)，1，(1/4，1/4，1/2))-OOCF.當(dāng)p≥5且p≠13時(shí)F是26-正則的.
　　定理1.20設(shè)p≥3為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(18p，{

19、3，4，5}，(2，2，2)，1，(1/4，1/4，1/2))-OOCF.當(dāng)p≥5時(shí)F是18-正則的.
　　本文共分為五章:第一章介紹光正交碼的相關(guān)概念，一些已知結(jié)論及本文的主要結(jié)果.第二章給出Φ(n，{3，4，5}，Λa，1，Q)的上界，其中Λa=(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2).第三章討論最優(yōu)平衡(n，{3，4，5}，Λa，1)-OOCs的存在性，其中Λa=(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2