橢圓曲線二次扭的2部分BCD猜想問題.pdf

1、數(shù)學家一直很關注形如如下代數(shù)方程整數(shù)解問題a2+b2=c2.這個眾所周知的方程描述了一個直角三角形三邊a,b，c之間的關系，是丟番圖方程中最簡單的例子之一.歐幾里得完全給出了這個方程的整數(shù)解，但是對于更復雜的方程，這便相當困難.1637年，費馬提出了如下更一般的方程an+bn=cn沒有正整數(shù)解，當n為大于2的整數(shù)時.雖然費馬聲明已經給出了這個猜想的一般證明，但是他除了n=4的特殊情形外沒有給出其它證明.直到1994年，Andrew Wi

2、les給出了費馬大定理的完整證明.在費馬大定理證明中，一個關鍵點就是模定理和費馬大定理之間的顯然聯(lián)系，這是1984年由Gerhard Frey注意到的，并且在1986年被Ribet證明了，說的是，如果費馬的方程存在一組整數(shù)解，那么就可以用其創(chuàng)造一條如下形式的半穩(wěn)定橢圓曲線y2=x(x-ap)(x+.bp)，且這條橢圓曲線不是模化的.然后在1994年，Wiles證明了半穩(wěn)定橢圓曲線的模定理(Taniyama-Shimura-Weil猜想)

3、，結合Ribit的定理，給出了費馬大定理的完整證明.
　　對于任意一條給定的橢圓曲線E，我們可以找到如下相對應的Weierstrass型的仿射模型E:y2=x3+Ax+B其中A，B∈Z，并且是一條虧格為一的非奇異平面曲線.如果一條橢圓曲線E定義在Q上，那么E(Q)≌Zr⊕E(Q)tors對于整數(shù)r≥0，這里E(Q)tors是一個有限Abel群，這是1922年被Mordell證明的.這個整數(shù)r稱為橢圓曲線的秩，是一個基本的算術不變量

4、.橢圓曲線秩為零當且僅當E(Q)是有限的.定義C是一個正整數(shù)，Γ0(C)為SL2(Z)的同余子群，X0(C)為相對應的緊致化的模曲線.根據(jù)Wiles的關于半穩(wěn)定橢圓曲線的模定理以及Breuil-Conrad-Diamond-Taylor的推廣，存在一個定義在有理數(shù)域上的非平凡有理映射ψ:X0(C)→E，這個映射把在無窮遠點處的尖點[∞]映在E的零元素O上.記[0]為復平面上零點處的尖點，這樣的話根據(jù)Manin-Drinfeld的定理，ψ

5、([0])是E(Q)上的一個扭點.我們稱C為橢圓曲線E的導子.令q為一個素數(shù).定義Nq:=＃{y2=x3+Ax+B mod q的解}和aq=q-Nq.那么我們可以定義橢圓曲線E的復L-級數(shù)為L(E，s)=(Πq|C)（1-aqq-s+q1-2s）-1(Πq|C)（1-εq-s）-1=:∑ann-s，這里ε=0，±1根據(jù)E(Q)在q處的約化型.我們將其視為復變量s的函數(shù)，且這個無窮歐拉乘積當Re(s)＞3/2時是收斂的.我們已經知道L(E

6、，s)具有解析連續(xù)性可以延拓到整個復平面上，而且滿足一個函數(shù)方程，對于任意的s，從L(E，s)到L(E，2-s).
　　直到當今不可思議的是對于一般的A和B還沒有任何認證的方法能夠計算橢圓曲線的秩.應該有這么一種方法正如現(xiàn)當今最重要的開放性問題Birch-Swinnerton-Dyer猜想所預示的那樣.Birch和Swinnerton-Dyer提出橢圓曲線的秩等于橢圓曲線的一個解析不變量，也就是橢圓曲線L-函數(shù)中心值s=1處零點的

7、階數(shù)，亦ords=1L(E,s)=rank of E(Q).這個猜想隨后被延伸，包括橢圓曲線L-函數(shù)中心值s=1處泰勒展式精確到首項系數(shù).具體的猜想是由下式給出的L(r)(E,1)/r!|ш(E)|ω(E)R∞(E)/|E(Q)tors|2·(Πp|C)cp(E).這里|ш(E)|是橢圓曲線E Tate-Shafarevich群的階，具體定義為ш(E)=Ker(H1(Q,E)→(⊕v)H1(Qv，E),是一個猜想為有限的群.其它項均為橢

8、圓曲線的一些基本元素和因子.
　　對于每個無平方因子且與C互素的整數(shù)M，且M≡1 mod4，我們定義L(alg)(E(M),1)=L(E(M),1)/Ω∞(E(M)),這里Ω∞(E(M))是E(M)的最小正的實周期.我們都知道L（alg)（E（M，1）是一個有理數(shù).我們記ord2為有理數(shù)域上在2處賦值的階，并且規(guī)定ord2(2)=1.定義ord2(0)=∞.令f(x)為橢圓曲線E的2-分裂多項式.當f(x)在Q上不可約時，我們定義

9、數(shù)域F為有理數(shù)域毗連f(x)的一個定根.令素數(shù)q在E上具有好的約化，令aq為E在q處Frobenius的跡，并記Nq:=1+q-aq.對于每個整數(shù)m＞1，令E[m]為E的m-分裂點構成的群.并且，我們定義E的一個有理素數(shù)q在域F中是惰性的，如果它是不分歧的且在域F的q處只有唯一的素數(shù).我們運用Manin[10]和Cremona[5]在模符號上的一些工作，證明了如下一系列一般結果.
　　定理0.0.1.令E為定義在Q上的Γ0(C)-

10、最優(yōu)橢圓曲線，判別式為負，E[2](Q)=0，且滿足ord2(L(alg)(E，1))=0.令M為形為M=∈q1q2…qr的任意整數(shù)，且滿足(M，C)=1，這里C為E的導子，r≥1，q1，…，qr為任意不同的且在域F中是惰性的奇素數(shù)，選擇適當?shù)摹?±1使得M≡1 mod4.那么L(E((M)，1)≠0，且我們有ord2(L(alg)(E(M),1))=0.因此，E(M)(Q)和ш(E(M)(Q))都是有限的.
　　定理0.0.2.

11、假設定理0.0.1中的條件成立.我們同時假設E的所有具壞約化的素數(shù)都在Q（√M）中分裂，并且E的2部分BSD猜想成立.那么所有E(M)的2部分BSD猜想成立.
　　定理0.0.3.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線，判別式為正，E[2](Q)=0，且滿足ord2(L(alg)(E，1))=1.令M為形為M=q1q2… qr的任意整數(shù)，且滿足(M，C)=1，這里C為E的導子，r≥1，q1，…，qr為任意不同的且在域F中是惰性

12、的奇素數(shù)，且M≡1 mod4.那么L(E((M)，1)≠0，且我們有ord2(L(alg)(E(M),1))=1.因此，E(M)(Q)和ш(E(M)(Q))都是有限的.
　　定理0.0.4.假設定理0.0.3中的條件成立.我們同時假設E的所有具壞約化的素數(shù)都在Q（√M）中分裂，并且E的2部分BSD猜想成立.那么所有E(M)的2部分BSD猜想成立.
　　定理0.0.5.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線，判別式為負，且

13、E[2](Q)≠0.令M為形為M=∈q的任意整數(shù)，這里q為滿足(q，C)=1的任意奇素數(shù)，C為E的導子，并選擇適當?shù)摹?±1使得M≡1 mod4.假設L(E，1)≠0.如果ord2(Nq)=-ord2（L（alg）(E，1))≠0，那么L(E(M))，1)≠0，且我們有ord2(L(alg)(E(M),1))=0.因此，E(M)(Q)和ш(E(M)(Q))都是有限的.
　　定理0.0.6.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線

14、，判別式為正，且E[2](Q)≠0.令q為滿足q≡1 mod4和（q，C）=1的任意奇素數(shù)，這里C為E的導子.假設L(E，1)≠0.如果ord2(Nq)=1-ord2(L(alg)(E，1))≠0，那么L（E（M)，1）≠0，且我們有ord2(L(alg)(E(M),1))=1.因此，E(M)(Q)和ш(E(M)(Q))都是有限的.
　　定理0.0.7.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線，判別式為負，E[2](Q)≠0，且

15、滿足L(E，1)≠0.令M為形為M=∈q1q2…qr的任意整數(shù)，且滿足(M，C)=1，這里C為E的導子，r≥1，q1，…，qr為任意不同的奇素數(shù)，選擇適當?shù)摹?±1使得M≡1 mod4.如果ord2(Nqi)＞-ord2(L(alg)(E，1))對于M的至少一個素因子qi(1≤i≤r)成立，那么我們有ord2(L(alg)(E(M),1))≥1.
　　定理0.0.8.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線，判別式為正，E[2]

16、(Q)≠0，且滿足L(E，1)≠0.令M≠1為任意整數(shù)，且滿足M≡1 mod4和(M，C)=1，這里C為E的導子，那么我們有ord2(L(alg)(E(M),1))≥1.
　　最后，我們考察了Neumann-Setzer這族橢圓曲線，其導子為p，這里p為形如u2+64的素數(shù)，且整數(shù)u≡1 mod4，其極小Weierstrass模型為A:y2+xy=x3+u-1/4x2+4x+u.我們證明了如下定理.
　　定理0.0.9.令q

17、為任意模4余3的素數(shù)，且在Q（√p）中是惰性的.當u≡5 mod8時，那么L(A(-q)，1）≠0，且我們有ord2(L(alg)(A(-q),1））=0.因此，A(-q)(Q)是有限的，Tate-Shafarevich群ш(A(-q)(Q))是有限的且基為奇數(shù).更進一步，A(-q)的2部分BSD猜想成立.
　　我們詳細考察了Neumann-Setzer這族橢圓曲線的二次扭，并猜想定理將對更多類的Neumann-Setzer橢圓曲