更新風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu罰金函數(shù)與破產(chǎn)概率.pdf

1、本論文致力于研究更新風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)理論.主要考慮了一般更新風(fēng)險(xiǎn)模型中的Gerber-Shiu罰金函數(shù)，以及當(dāng)索賠時(shí)間間隔和索賠量的分布為具體的分布時(shí)的更新風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu罰金函數(shù)，最后又討論了更新風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的上下界問題. SparreAndersen風(fēng)險(xiǎn)模型是由E.SparreAndersen在1957年(Andersen[1])在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上提出的，是對經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣.許多文獻(xiàn)對此模型進(jìn)行了

2、研究，相關(guān)文獻(xiàn)有Dickson[2]，Gerber，Shiu[3]等.而Gerber-Shiu罰金函數(shù)則是由Gerber與Shiu在1998年(Gerber，Shiu[4])提出的，而Gerber.Shiu[3]就研究了更新風(fēng)險(xiǎn)模型中的Gerber-Shiu罰金函數(shù).Cheng，Tang[5]Gerber，Shiu[6][7].Li[8]，Lin[9]研究了更新風(fēng)險(xiǎn)模型中的索賠時(shí)間間隔分布是Erlang(2)分布(即Erlang(2)風(fēng)

3、險(xiǎn)過程)時(shí)的Gerber-Shiu罰金函數(shù)和破產(chǎn)概率，Gerber與Shiu[3]則不僅推廣了Lin[9]的結(jié)論，還進(jìn)一步研究了更新風(fēng)險(xiǎn)模型中的索賠時(shí)間間隔分布是Erlang(n)(即Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過程)分布時(shí)的Gerber-Shiu罰金函數(shù). Willmot，Dickson[10]研究了平穩(wěn)更新風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu罰金函數(shù)，得到了一個(gè)比較具體的表達(dá)式.而Willmot[11]得到了一般更新風(fēng)險(xiǎn)模型Gerbe

4、r-Shiu罰金函數(shù)與延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型和平穩(wěn)更新風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu罰金函數(shù)的關(guān)系.Dickson，Drekic[12]則給出了破產(chǎn)前的瞬時(shí)贏余，破產(chǎn)時(shí)的赤字，破產(chǎn)時(shí)刻這三者的一個(gè)聯(lián)合分布函數(shù).受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)本文考慮了Sparrc-Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型中的Gerber-Shiu罰金函數(shù)，進(jìn)一步推導(dǎo)了一般更新風(fēng)險(xiǎn)模型Gerber-Shiu罰金函數(shù)與延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型和平穩(wěn)更新風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shin罰金函數(shù)的關(guān)系，

5、并得到了破產(chǎn)概率.最后還研究了Sparre-Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的上下界. 本文共分為三章.第一章為緒論，主要介紹了研究問題的重要性. 第二章主要研究了Sparre-Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu罰金函數(shù).主要探討了一般更新風(fēng)險(xiǎn)模型中Gerber-Shiu罰金函數(shù).我們用一個(gè)特殊情形下的一般更新風(fēng)險(xiǎn)模型Gerber-Shiu罰金函數(shù)的表達(dá)式得到了在延遲更新風(fēng)險(xiǎn)和平衡更新風(fēng)險(xiǎn)模型中Gerber

6、-Shiu罰金函數(shù)在特殊情形下的表達(dá)式， 定理2.2.1在延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型中，當(dāng)δ=0時(shí)，Gerber-Shiu罰金函數(shù)為m1，0(u)=k1(0)E(V)/(1+θ)δ(0)∫u0∫∞0∫∞0∫u-y1max{0,u-y1-x}f(0,x-u+z+y1)/-P(x-u+y1+z)p(x+y)w(x，y)dδ(z)dxdydHe(y1)+∫∞uea(u-t)/cφ0(t)dt,其中φ0(t)=a/cδ(0)∫∞0∫∞0∫tmax

7、(0,t-x}f(0,x-t+z)/-P(x-t+z)p(x+y)w(x,y)dδ(z)dxdy+k1(0)/c∫∞tw(t,y'1-t)dH(y'1)-r1,這里r1=ak1(0)E(V)/c(1+θ)δ(0)∫t0∫∞0∫∞0∫t-y1max{0,t-y1-x}f(0,x-t+z+y1)/-P(x-t+y1+z)p(x+y)w(x,y)dδ(z)dxdydHe(y1),其中y'1，y1是一般更新和平衡更新風(fēng)險(xiǎn)模型中的第一次索賠的數(shù)量

8、. 定理2.2.2在平衡更新風(fēng)險(xiǎn)模型中，當(dāng)δ=0時(shí)，Gerber-Shiu罰金函數(shù)為me,0(u)=1/(1+θ)δ(0)∫u0∫∞0∫∞0∫u-y1max{0,u-y1-x}f(0,x-u+y1+z/-P(x-u+y1+z)p(x+y)w(x,y)dδ(z)dxdydHe(y1)+q0(u),其中q0(u)=1/(1+θ)E(Y)∫∞u∫∞tw(t,y'1-t)dH(y'1)dt.并進(jìn)一步推出了相應(yīng)情況下的破產(chǎn)概率的表達(dá)式.

9、 推論2.3.1在延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型中，破產(chǎn)概率為ψ1，0(u)=k1(0)E(V)/(1+θ)δ(0)∫u0∫∞0∫∞0∫u-y1max{0,u-y1-x}f(0,x-u+z+y1)/-P(x-u+y1+z)p(x+y)dδ(z)dxdydHe(y1)+∫∞uea(u-t)/cφ'0(t)dt. 其中φ'0(t)=a/cδ(0)∫∞0∫∞0∫t-xmax(0,t-x)f(0,x-t+z)/-P(x-t+z)p(x+y)dδ

10、(z)dxdy這里αk1γ'1=ak1(0)E(V)/cδ(0)(1+θ)∫t0∫∞0∫∞0∫t-y1-xmax{0,t-y1-x}f(0,x-t+y1+z)/-P(x-t+y1+z)其中-H如前所定義，即H(t)=1--H(t)=Pr(Y≤t). 推論2.3.2在平衡更新風(fēng)險(xiǎn)模型中，破產(chǎn)概率為ψe,0(u)=1/(1+θ)δ(0)∫u0∫∞0∫∞0∫u-y1-xmax{0,u-y1-x}f(0,x-u+y1+z)/-P(x-u

11、+y1+z)p(x+y)dδ(z)dxdydHe(y1)+-He(u)/1+θ. 然后將索賠時(shí)間間隔分布與索賠數(shù)量分布具體化，得到了當(dāng)索賠時(shí)間間隔與索賠數(shù)量的分布為幾類具體分布下相對應(yīng)的罰金函數(shù)以及破產(chǎn)概率的表達(dá)式.并對這幾類具體索賠間隔和索賠量分布下的結(jié)果與一些經(jīng)典結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證結(jié)論的正確性.最后舉例對所得結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證，說明結(jié)論的實(shí)用性. 第三章Sparre-Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的上下界.主要研究

12、了在更新風(fēng)險(xiǎn)模型中，由隨機(jī)游動(dòng)與復(fù)合幾何分布的性質(zhì)，將損失贏余過程轉(zhuǎn)化成一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)，然后利用NWU,NBU性，來研究停止失效率，并對停止失效率的上下界進(jìn)行了估計(jì)，得到了一個(gè)停止失效率的上下界，定理3.3.1對任意x＞0有φ(πF(x)+E(S)-F(x))/1-φ+φ-F(x)≤πS(x)≤φ(πF(x)+E(S)-F(x)+E(S2)F(x)/(2x))/1+φE(S)F(x)/x并運(yùn)用得到的上下界對破產(chǎn)概率做了估計(jì)，進(jìn)一步得出破產(chǎn)