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1、1培優(yōu)點十六培優(yōu)點十六利用空間向量求夾角利用空間向量求夾角1利用面面垂直建系例1:在如圖所示的多面體中,平面11ABBA?平面ABCD,四邊形11ABBA為邊長為2的菱形,ABCD為直角梯形,四邊形11BCCB為平行四邊形,且ABCD∥,ABBC?,1CD?(1)若E,F(xiàn)分別為11AC,1BC的中點,求證:EF?平面11ABC;(2)若160AAB???,1AC與平面ABCD所成角的正弦值為55,求二面角11AACD??的余弦值【答案】
2、(1)見解析;(2)78?【解析】(1)連接1AB,∵四邊形11ABBA為菱形,∴11ABAB?∵平面11ABBA?平面ABCD,平面11ABBBAI平面ABCDAB?,BC?平面ABCD,ABBC?,∴BC?平面11ABBA又1AB?平面11ABBA,∴1ABBC?∵11BCBC∥,∴111ABBC?∵1111BCABB??,∴1AB?平面11ABC∵EF分別為11AC,1BC的中點,∴1EFAB∥,∴EF?平面11ABC(2)設(shè)11
3、BCa?,由(1)得11BC?平面11ABBA,由160AAB???,2BA?,得123AB?,2112ACa??過點1C作1CMDC?,與DC的延長線交于點M,取AB的中點H,連接1AH,AM,如圖所示,3令11y?,得??312?m設(shè)平面11AAC的一個法向量為??222xyz?n,由1100ACAA?????????uuuvuuuvnn得22222333030xyzxz????????????,令21z?,得??321?n∴322
4、77cos831434188?????????????mnmnmn,又∵二面角11AACD??是鈍角,∴二面角11AACD??的余弦值是78?2線段上的動點問題例2:如圖,在ABCDY中,30A???,3AD?,2AB?,沿BD將ABD△翻折到ABD?△的位置,使平面ABC??平面ABD?(1)求證:AD??平面BCD;(2)若在線段AC?上有一點M滿足AMAC????uuuuvuuuv,且二面角MBDC??的大小為60?,求?的值【答
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