三角形四心競賽講義

1、三角形四心競賽講義三角形四心競賽講義一、“四心”分類討論..........................................................21、外心....................................................................22、內(nèi)心........................................................

2、............33、垂心....................................................................54、重心....................................................................65、外心與內(nèi)心......................................................

3、........86、重心與內(nèi)心..............................................................97、外心與垂心..............................................................98、外心與重心.............................................................119

4、、垂心與內(nèi)心.............................................................1110、垂心、重心、外心......................................................11旁心......................................................................12二、“四心”的聯(lián)想.

5、..........................................................131、由內(nèi)心、重心性質(zhì)產(chǎn)生的聯(lián)想.............................................132、重心的巧用.............................................................143、三角形“四心”與一組面積公式............

6、...............................16三角形各心間的聯(lián)系..........................................................20與三角形的心有關(guān)的幾何命題的證明............................................21三角形的內(nèi)心、外心、垂心及重心(以下簡稱“四心”)是新頒發(fā)的初中數(shù)學(xué)競賽大綱特別加強(qiáng)的內(nèi)容。由于與四心有關(guān)的幾何

7、問題涉及知識面廣、難度大、應(yīng)用的技巧性強(qiáng)、方法靈活，是考查學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造思維能力的較佳題型，因此，它是近幾年來升學(xué)、競賽的熱點(diǎn)。92、93、94、95連續(xù)四年的全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽均重點(diǎn)考察了這一內(nèi)容。本講擬分別列舉四心在解幾何競賽中的應(yīng)用，以期幫助同學(xué)們掌握這類問題的思考方法，提高靈活運(yùn)用有關(guān)知識的能力。例2、如圖92所示，在△ABC的大邊AB上取AN=AC，BM=BC，點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，求證：∠MPN=∠A∠B。分析、連接P

8、A、PB、PC及PM、PN。由已知易證△APC≌△APN，△BPC≌△BPM。從而△PC=PN，PC=PM，即PM=PN=PC。故P為△CMN的外心，此時有∠MPN=2∠MCN。而∠CAN=90－∠A，∠BCM=90－∠B，2121故∠ACN∠BCM=180－(∠A∠B)，即∠MCN∠ACB=180－(∠A∠B)，2121則∠MCN=(180－∠ACB)－(∠A∠B)=(∠A∠B)。2121故∠MPN=2∠MCN=∠A∠B。例3、AB為

9、半圓O的直徑，其弦AF、BE相交于Q，過E、F分別作半圓的切線得交點(diǎn)P，求證：PQ⊥AB。分析、延長EP到K，使PK=PE，連KF、AE、EF、BF，直線PQ交AB于H(圖93)。因∠EQF=∠AQB=(90－∠1)(90∠2)=∠ABF∠BAE=∠QFP∠QEP，又由PK=PE=PF知∠K=∠PFK，故∠EQF∠K=∠QFK∠QEK=180，從而E、Q、F、K四點(diǎn)共圓。由PK=PF=PE知，P為△EFK的外心，顯然PQ=PE=PF。于

10、是∠1∠AQH=∠1PQF=∠1∠PFQ=∠1∠AFP=∠1∠ABF=90。由此知QH⊥AH，即PQ⊥AB。2、內(nèi)心、內(nèi)心三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心?！鰽BC的內(nèi)心一般用字母I表示，它具有如下性質(zhì)：(1)內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角。(2)∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，則D與頂點(diǎn)B、C、內(nèi)心I等距(即D為△BCI的外心)。(3)∠BIC=90∠A，∠CIA=90∠B，∠AIB=