“圓錐曲線起始課”教學設計

1、1“圓錐曲線起始課”教學設計“圓錐曲線起始課”教學設計江蘇省蘇州第十中學姚圣海【教學目標】【教學目標】1.通過用平面截圓錐面，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義；通過用平面截圓錐面，感受、了解雙曲線的定義.2.通過用平面對圓錐面的不同的截法，產(chǎn)生三種不同的圓錐曲線，得出橢圓、雙曲線和拋物線的概念，經(jīng)歷概念的形成過程，利于從整體上認識三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系，初步具備歸納總結(jié)、類比區(qū)分等能力；借助實物模型，通過整體

2、觀察、動手實踐等方式對畫橢圓、點的軌跡等問題進行探究，形成積極主動、勇于探索的學習方式，完善思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學化能力，提高數(shù)學素養(yǎng).3.通過創(chuàng)設問題情境等引入方式，激發(fā)起學習圓錐曲線的興趣，形成注重實踐、勇于探究的科學價值理念；利用Delin雙球探究圓錐曲線的定義，揭示了三種圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，感受數(shù)學的內(nèi)在美與和諧美，形成欣賞美、發(fā)現(xiàn)美的能力與意識，提高數(shù)學審美能力.【重點難點】【重點難點】重點：三種圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的

3、定義.難點：用Delin雙球發(fā)現(xiàn)橢圓的特性（由此形成橢圓的定義）.【教學過程教學過程】（一）課堂引入（一）課堂引入師：同學們，我們在課本必修2的學習過程中，已經(jīng)一起研究過了“平面解析幾何初步”，主要學習了直線與方程、圓與方程等內(nèi)容.今天這一堂課，我們繼續(xù)來探討解析幾何的有關(guān)內(nèi)容.師：首先，在正式開始這一節(jié)課之前，我們來聽一個有趣的數(shù)學傳說.引入引入1“杰尼西亞的耳朵”——據(jù)說，很久以前，意大利西西里島有一個山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞把一

4、些囚犯關(guān)在這個山洞里.囚犯們多次密謀逃跑，但每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn).起初囚犯們認為除了內(nèi)奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密者.后來他們察覺到囚禁他們的山洞形狀奇怪，洞壁把囚犯們的話都反射到獄卒耳朵里去了.原來，這個囚洞的剖面近似于一個橢圓（如圖），犯人聚居的地方恰好在橢圓的一個焦點附近，獄卒在另一個焦點處偷聽.無論囚犯們怎樣壓低嗓門，他們的聲音照樣被獄卒聽得一清二楚.問題問題1什么是橢圓？它具有哪些幾何性質(zhì)？（用傳說創(chuàng)設情境，激發(fā)學生興趣，達到引入

5、課題的目的.）師：這個傳說其實是由與數(shù)學相關(guān)的文化——圓錐曲線衍生而來的.與圓錐曲線有關(guān)的實際背景，或者說，圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用遠遠不僅于此.3師燈泡的光線，被燈罩遮擋，通過燈罩的敞口投射之后，相當于形成了圓錐面.墻壁相當于平面，截圓錐面所得的曲線即為如圖所示的雙曲線.師兩張圖的區(qū)別在于，要想得到右圖的雙曲線投影，需燈罩的上下敞口面積一樣大，且燈泡所處位置距上下敞口所在平面距離相等.師下面我們回到本節(jié)課一開始提出

6、的問題1：什么是橢圓？它具有哪些幾何性質(zhì)？（教師引導學生思考問題1：什么是橢圓？它具有哪些幾何性質(zhì)？并介紹Delin雙球.）師圓錐曲線早在公元前約200年時就已被命名和研究了，其發(fā)現(xiàn)者為古希臘的數(shù)學家阿波羅尼阿斯（ApolloniusofPerga，前262年～前190年），當時阿波羅尼阿斯對圓錐曲線的性質(zhì)已做了系統(tǒng)性的研究，并幾乎羅列殆盡，使后人難以有新的發(fā)現(xiàn).師圓錐曲線在漫長的數(shù)學歷史發(fā)展過程中熠熠生輝，它吸引了無數(shù)的數(shù)學愛好者為之

7、著迷癡狂，并在科學文化的其他領域閃爍光芒.比如，圓錐曲線為一千八百多年后開普勒、牛頓、哈雷等數(shù)理天文學家研究行星和彗星軌道提供了數(shù)學基礎.師在圓錐曲線的眾多研究者中，19世紀的法國數(shù)學家Delin是非常著名的一位.師19世紀初，法國數(shù)學家Delin利用與圓錐面和截面均相切的兩個球（Delin雙球），給出了研究橢圓橢圓特性的一種巧妙的方法.Delin在截面的兩側(cè)分別放置一個球，使它們都與截面相切（切點分別為F1，F(xiàn)2），且與圓錐面相切，兩

8、球與圓錐面的公共點分別構(gòu)成圓O1和圓O2.設點M是平面與圓錐面的截線上任一點，過M點作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2于P，Q兩點.師圖中所示線段之間的長度有什么關(guān)系？生因為過球外一點所作球的切線的長相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，故MF1MF2=MPMQ=PQ師PQ長有什么特點.（學生思考，教師展示M點在截線上運動時的動畫.）生PQ是常數(shù).師對，也就是說，截線上任意一點到兩個定點截線上任意一點到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等

9、于常數(shù)的距離的和等于常數(shù).（三）數(shù)學建構(gòu)（三）數(shù)學建構(gòu)一般地，平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓橢圓，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.（四）數(shù)學應用（四）數(shù)學應用例1試用適當?shù)姆椒ó嫵鲆詢蓚€定點F1，F(xiàn)2為焦點的一個橢圓.（學生思考，分組討論，嘗試用圓規(guī)、或用三支筆夾在一起作圖，感到疑惑.）師我給大家講一個家里原來裝修時發(fā)生的事情.我家原來裝修時，想請木工師傅幫