第二章(數(shù)值運算和運算器)

1、1,第4章 運算方法與運算器,2.1 定點數(shù)的加減運算及實現(xiàn) 2.2 定點數(shù)的乘法運算及實現(xiàn)2.3 定點數(shù)除法運算及實現(xiàn) 2.4 定點運算器的組成與結構2.5 浮點運算及運算器 作業(yè),2,2.1 定點數(shù)的加減運算及實現(xiàn),一、補碼加減運算及運算器二、機器數(shù)的移位運算,3,一、補碼加減運算及運算器,1、補碼加減運算方法2、補碼加減運算的溢出判斷3、補碼加減運算器,4,1、補碼加減運算方法,補碼的加減運算的公式是：

2、[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補[X-Y]補 = [X]補 + [-Y]補特點：使用補碼進行加減運算，符號位和數(shù)值位一樣參加運算。補碼的減法可以用加法來實現(xiàn)，任意兩數(shù)之差的補碼等于被減數(shù)的補碼與減數(shù)相反數(shù)的補碼之和 。,5,求補運算：[Y]補 → [-Y]補,求補規(guī)則：將[Y]補包括符號位在內每一位取反，末位加1。若[Y]補 = Y0，Y1……Yn ，則：,若[Y]補 = Y0.Y1……Yn ，則：,,例： [X]補

3、=0.1101，則： [－X]補 = ？ [Y]補 =1.1101，則： [－Y]補 = ？,1.0011,0.0011,6,補碼加減運算舉例,例：已知X=+1011，Y=-0100，用補碼計算X+Y和X-Y。寫出補碼： [X]補 =0,1011 [Y]補 =1,1100 [-Y]補 =0,0100 計算：,0,1011,＋ 1,1100,,0,0111,[X＋Y]補 = 0, 0111,

4、0,1011,＋ 0,0100,,0,1111,[X－Y]補 = 0, 1111,7,2、補碼加減運算的溢出判斷,當運算結果超出機器數(shù)的表示范圍時，稱為溢出。計算機必須具備檢測運算結果是否發(fā)生溢出的能力，否則會得到錯誤的結果（例2.2）。對于加減運算，可能發(fā)生溢出的情況：同號（兩數(shù)）相加，或者異號（兩數(shù)）相減。確定發(fā)生溢出的情況：正數(shù)相加，且結果符號位為1；負數(shù)相加，且結果符號位為0；正數(shù)－負數(shù)，且結果符號位為1；負數(shù)－正數(shù)

5、，且結果符號位為0；,8,常用的判溢方法（補碼加減運算）,（1）單符號位判溢方法2 當最高有效位產生的進位和符號位產生的進位不同時，加減運算發(fā)生了溢出。V＝C1⊕Cf（2）雙符號位判溢方法X和Y采用雙符號位補碼參加運算，正數(shù)的雙符號位為00，負數(shù)的雙符號位為11；當運算結果的兩位符號Sf1 Sf2不同時（01或10），發(fā)生溢出。 V＝ Sf1 ⊕ Sf2= Xf ⊕Yf ⊕Cf⊕ Sf Sf1 Sf2=01，則正溢出；Sf1

6、 Sf2=10，則負溢出。,9,雙符號位判溢方法舉例,例：用補碼計算X+Y和X-Y （1）X=+1000，Y=+1001（2）X=-1000，Y=1001,,,Sf1 Sf2=01，正溢出,Sf1 Sf2=11，無溢出,,,Sf1 Sf2=00，無溢出,Sf1 Sf2=10，負溢出,10,3、補碼加減運算器,,11,3、補碼加減運算器,核心部件：一個普通的二進制并行加法器。A：累加器，存放[X]補；B：寄存器，存放[Y]補；,,1

7、2,二、機器數(shù)的移位運算,二進制數(shù)據(jù)（真值）每相對于小數(shù)點左移一位，相當于乘以2；每相對于小數(shù)點右移一位，相當于除以2。計算機中的移位運算分為：1、邏輯移位：將移位的數(shù)據(jù)視為無符號數(shù)據(jù)，各數(shù)據(jù)位在位置上發(fā)生了變化，導致無符號數(shù)據(jù)的數(shù)值（無正負）放大或縮小。 2、算術移位：將移位的數(shù)據(jù)視為帶符號數(shù)據(jù)（機器數(shù)）。算術移位的結果，在數(shù)值的絕對值上進行放大或縮小，同時，符號位必須要保持不變。 3、循環(huán)移位：所有的數(shù)據(jù)位在自身范圍內進行左

8、移或者右移，左移時最高位移入最低位，右移時最低位移入最高位。,13,補碼的算術移位,算術左移：符號位不變，高位移出，低位補0。為保證補碼算術左移時不發(fā)生溢出，移位的數(shù)據(jù)最高有效位必須與符號位相同。在不發(fā)生溢出的前提下，用硬件實現(xiàn)補碼的算術左移時，直接將數(shù)據(jù)最高有效位移入符號位，不會改變機器數(shù)的符號。,,,算術右移：符號位不變，低位移出，高位正數(shù)補0，負數(shù)補1，即高位補符號位。,14,補碼的算術移位舉例,例：設X＝0.1001,Y＝－

9、0.0101，求[X]補＝ ？[2X]補＝ ？[X/2]補＝？[Y]補＝ ？[2Y]補＝ ？[Y/2]補＝？,,0.1001,1.0010（溢出）,0.0100,1.1011,1.0110,1.1101,15,2.2 定點數(shù)的乘法運算及實現(xiàn),一、計算機中乘除運算的實現(xiàn)方法二、原碼乘法算法三、原碼乘法的硬件實現(xiàn)四、陣列乘法器,16,一、計算機中乘除運算的實現(xiàn)方法,由于計算機的軟硬件在邏輯上具有一定的等價性，因此

10、實現(xiàn)乘除法運算，可以有三種方式：1、用軟件實現(xiàn)。硬件上：設計簡單，沒有乘法器和除法器。指令系統(tǒng)：沒有乘除指令，但有加/減法和移位指令實現(xiàn)：乘除運算通過編制一段子程序來實現(xiàn)算法：程序中運用串行乘除運算算法，循環(huán)累加、右移指令→乘法，循環(huán)減、左移指令→除法。運算速度：較慢。適用場合：單片機。,17,一、計算機中乘除運算的實現(xiàn)方法,2、用硬件乘法器和除法器實現(xiàn)。硬件上：設置有并行加法器、移位器和若干循環(huán)、計數(shù)控制邏輯電路搭成的

11、串行乘除法器。指令系統(tǒng)：具有乘除法指令。實現(xiàn)：乘除運算通過微程序一級（硬件＋微程序）來實現(xiàn)。算法：在微程序中依據(jù)串行乘除運算算法，循環(huán)累加、右移指令→乘法，循環(huán)減、左移指令→除法。運算速度：有所提高，但硬件設計也相對復雜。適用場合：低性能CPU。,18,一、計算機中乘除運算的實現(xiàn)方法,3、用高速的陣列乘法器和陣列除法器來實現(xiàn)。硬件上：設置有專用的、并行運算的陣列乘法器和陣列除法器。指令系統(tǒng)：具有乘除法指令。實現(xiàn)：完全通過

12、硬件來實現(xiàn)。算法：并行乘/除法。運算速度：很快，但硬件設計相當復雜。適用場合：高性能CPU。,19,二、原碼乘法算法,1、手工乘法算法手工計算1011×1101，步驟：手工算法：對應每1位乘數(shù)求得1項位積，并將位積逐位左移，然后將所有的位積一次相加，得到最后的乘積。 乘法的機器算法：從乘數(shù)的最低位開始，每次根據(jù)乘數(shù)位得到其位積，乘數(shù)位為0，位積為0，乘數(shù)位為1，則位積為被乘數(shù)；用原部分積右移1位加上本次位積，得新部

13、分積；初始部分積為0。,20,二、原碼乘法算法,2、原碼一位乘法算法： 假設[X]原=XS X1 X2 ……Xn ， [Y]原=YS Y1 Y2 ……Yn ， P=X·Y，PS是積的符號：符號位單獨處理   Ps=Xs ⊕ Ys 絕對值進行數(shù)值運算 |P|=|X|*|Y|例如：X=+1011，Y=-1101，用原碼一位乘法計算P=X·Y。,21,舉例,[X]原=0，1011 [Y

14、]原=1，1101Ps=Xs⊕Ys =0⊕1=1|P| = |X|·|Y|,[P]原=1，10001111,22,三、原碼乘法的硬件實現(xiàn),控制邏輯電路,23,原碼一位乘法,00000,1101,0 0 0 0 0,1 1 0 1,為各寄存器給初值,0 1 0 1 1,24,第一次求部分積,00000,1101,0 1 0 1 1,01011,1101,加運算：＋|X|,25,第一次求部分積,000

15、00,1101,0 0 1 0 1,1 1 1 0,01011,1101,右移1位,00101,1110,26,第二次求部分積,00000,1101,0 0 1 0 1,1 1 1 0,01011,1101,加運算：＋0,00101,1110,00101,1110,27,第二次求部分積,00000,1101,0 0 0 1 0,1 1 1 1,01011,1101,右移1位,00101,1110,00101,1

16、110,00010,1111,28,第三次求部分積,00000,1101,0 1 1 0 1,01011,1101,加運算：＋|X|,00101,1110,00101,1110,00010,1111,01101,1111,29,第三次求部分積,00000,1101,0 0 1 1 0,1 1 1 1,01011,1101,右移1位,00101,1110,00101,1110,00010,1111,01101,1111,0011

17、0,1111,30,第四次求部分積,00000,1101,1 0 0 0 1,01011,1101,加運算：＋|X|,00101,1110,00101,1110,00010,1111,01101,1111,00110,1111,10001,1111,31,第四次求部分積,00000,1101,0 1 0 0 0,1 1 1 1,01011,1101,右移1位,00101,1110,00101,1110,00010,1111,

18、01101,1111,00110,1111,01000,1111,低位積,高位積,符號位異或結果為：1,10001111,32,原碼一位乘法流程 ：,33,四、陣列乘法器,原理類似于二進制手工算法位積的每一位XiYj都可以用一個與門實現(xiàn)，而每一位的相加均可以使用一個全加器來實現(xiàn)。,,34,絕對值陣列乘法器,,,動畫演示,35,補碼陣列乘法器,,36,2.3 定點數(shù)除法運算及實現(xiàn),一、原碼除法算法二、原碼除法的硬件實現(xiàn)三、陣列除

19、法器,37,一、原碼除法算法,1、手工除法算法2、原碼恢復余數(shù)算法3、原碼不恢復余數(shù)算法,38,1、手工除法算法,X=+0.1011，Y=-0.1101X÷Y,改進手工算法即可適合機器運算：計算機通過做減法測試來實現(xiàn)判斷：結果大于等于0，表明夠減，商1；結果小于0，表明不夠減，商0。計算機將余數(shù)左移一位，再直接與不右移的除數(shù)相減。,39,2、原碼恢復余數(shù)算法,假設[X]原=XS .X1 X2 ……Xn ，[Y]原=Y

20、S .Y1 Y2 ……Yn ，Q是X÷Y的商，QS是商的符號，R是X÷Y的余數(shù)，RS是余數(shù)的符號原碼除法運算的規(guī)則是：1.QS = XS ⊕YS ，RS = XS，|Q| = |X|÷|Y|-|R|÷|Y|2.余數(shù)和被除數(shù)、除數(shù)均采用雙符號位；初始余數(shù)為|X|。3.每次用余數(shù)減去|Y|（通過加上[-|Y|]補來實現(xiàn)），若結果的符號位為0，則夠減，上商1，余數(shù)左移一位；若結果的符號位為1，

21、則不夠減，上商0，先加|Y|恢復余數(shù)，然后余數(shù)左移一位。2.循環(huán)操作步驟3，共做n+1次，最后一次不左移，但若最后一次上商0，則必須+|Y|恢復余數(shù)；若為定點小數(shù)除法，余數(shù)則為最后計算得到的余數(shù)右移n位的值。,,40,例如： X=+0.1011， Y= - 0.1101用原碼恢復余數(shù)算法計算X÷Y。解：[X]原=0.1011 [Y]原=1.1101 |X|=0.1

22、011 |Y|=0.1101 [-|Y|]補=11.0011 QS = XS ⊕YS = 1 RS = 0,,得[Q]原=1.1101 [R]原=0.00000111,,11.1110,41,3、原碼不恢復余數(shù)算法,又稱為加減交替法：當某一次求得的差值（余數(shù)Ri)為負時，不是恢復它，而是繼續(xù)求下一位商，但用加上除數(shù)（+|Y|）的辦法來取代（-|Y|）操作，其他操作不變。其原理證明如

23、下：在恢復余數(shù)除法中，若第i-1次求商的余數(shù)為Ri-1，下一次求商的余數(shù)為Ri，則：Ri=2Ri-1－|Y|如果Ri>=0，商的第i位上1，并執(zhí)行操作：余數(shù)左移一位，再減|Y|，得Ri+1，則：Ri＋1=2Ri－|Y|如果Ri<0，商的第i位上0，并執(zhí)行操作：恢復余數(shù)（+|Y|），將余數(shù)左移一位，再減|Y|，得Ri+1。其過程可用公式表示如下： Ri+1=2（Ri+|Y|）－|Y|=2Ri+2|Y|－|Y

24、|=2Ri+|Y|,,42,3、原碼不恢復余數(shù)算法,加減交替法的規(guī)則如下：余數(shù)為正時，商上1，求下一位商的辦法，是余數(shù)左移一位，再減去除數(shù)；當余數(shù)為負時，商上0，求下一位商的辦法，是余數(shù)左移一位，再加上除數(shù)。若最后一次上商為0，而又需得到正確余數(shù)，則在這最后一次仍需恢復余數(shù)。,,43,例如：X=+0.1011， Y=-0.1101，用原碼不恢復余數(shù)算法計算X÷Y。解：[X]原=0.1011 [Y

25、]原=1.1101 |X|=0.1011 |Y|=0.1101 [-|Y|]補=11.0011QS = XS ⊕YS = 1 RS = 0,[Q]原=1.1101 [R]原=0.00000111,44,二、原碼除法的硬件實現(xiàn),控制電路邏輯,45,原碼不恢復余數(shù)除法流程,46,三、陣列除法器,被除數(shù)X=X1 X2 X3 X4 X5 X6，除數(shù)Ｙ=Ｙ1Ｙ2Ｙ3得到的商Q=Q1Q2Q3（Q0=0

26、），R= R4 R5 R6。若為定點小數(shù)，則X=0.X1 X2 X3 X4 X5 X6，除數(shù)Ｙ=0.Ｙ1Ｙ2Ｙ3，得到的商Q=0.Q1Q2Q3（Q0=0），R=0.000 R4 R5 R6構成的基本部件：可控加減單元CAS,47,三、陣列除法器,48,2.4 定點運算器的組成與結構,一、定點運算器的組成二、定點運算器的總線結構,49,一、定點運算器的組成,基本組成包括：算術邏輯運算單元ALU：核心部件暫存器：用來存放參與計算

27、的數(shù)據(jù)及運算結果，它只對硬件設計者可見，即只被控制器硬件邏輯控制或微程序所訪問 通用寄存器堆：用于存放程序中用到的數(shù)據(jù)，它可以被軟件設計者所訪問。 內部總線：用于連接各個部件的信息通道。 其他可選電路,50,一、定點運算器的組成,設計定點運算器，如何確定各部件的功能和組織方式是關鍵，這取決于以下幾個方面：指令系統(tǒng)機器字長機器數(shù)及其運算原理體系結構,51,二、定點運算器的總線結構,1、單總線結構 單總線運算器的結構形式1

28、,,52,二、定點運算器的總線結構,單總線運算器的結構形式2,,53,2、雙總線結構 雙總線運算器的結構形式1,,54,雙總線運算器的結構形式2,,55,3、三總線結構,,最后必須指出的是，在分析某一種運算器的運算過程和通路時，一個基本的原則就是在一個CPU周期（一步）內，某條總線上的數(shù)據(jù)必須是唯一的，且不能保留（至下一個CPU周期）。,56,2.5 浮點運算及運算器,一、浮點加減運算二、浮點乘除運算三、浮點運算器,57,一、浮

29、點加減運算,假設兩個浮點數(shù)X和Y,則必須保證X和Y的階碼（指數(shù)）是相同的，然后對尾數(shù)做加減運算。,58,浮點加減運算步驟,（1）0操作數(shù)檢查：以盡可能的簡化操作。（2）對階：原則是小階對向大階求階差ΔE=EX-EY，若ΔE≠0，即EX≠EY時需要對階。若ΔE>0，則EX>EY，MY每右移一位，EY+1，直至 EY=EX 。若ΔE<0，則EX<EY，MX每右移一位，EX+1，直至EX=EY 。（3）尾數(shù)相

30、加減（4）結果規(guī)格化：尾數(shù)運算的結果可能出現(xiàn)兩種非規(guī)格化情況：A、尾數(shù)溢出：需要右規(guī)（1次），即尾數(shù)右移1位，階碼＋1B、|尾數(shù)| <2-1：需要左規(guī)，即尾數(shù)左移1位，階碼－1，左規(guī)可能多次，直到尾數(shù)變?yōu)橐?guī)格化形式。（5）舍入：可采用截斷法、0舍1入法、末位恒置1。,59,,浮點加減運算流程,60,舉例：12位浮點數(shù)，階碼4位，包含1位階符，尾數(shù)8位，包含1位數(shù)符，用補碼表示，階碼在前，尾數(shù)（包括數(shù)符）在后，已知： X=

31、（-0.1001011）×2001 Y=0.1100101×2-010 求Z=X+Y。,解：[X]浮 = 00，001 11.0110101 [Y]浮 = 11，110 00.1100101（1）對階ΔE=EX-EY=[EX]補+[-EY]補 = 00，001+00，010 = 00，011ΔE=3>0，將MY右移3位，EY加3：[Y]浮 = 00，001 00.0001

32、100 （101）（2）尾數(shù)相加： [MZ]補 = 11.1000001（101）（3）結果規(guī)格化：左規(guī)一位，無溢出：[MZ]補 = 11.0000011（01） [EZ]補 = 00，001 + 11，111= 00，000（4）舍入：按照0舍1入法，尾數(shù)多余位舍去結果為：[Z]浮 = 0，000 1.0000011,61,二、浮點乘除運算,1、浮點數(shù)乘法運算：假設兩個浮點數(shù)X和Y：,62,（1）0操作數(shù)檢查（

33、2）階碼相加：階碼相加可以采用補碼或者移碼的定點整數(shù)加法，同時對相加結果判溢，一旦發(fā)生正溢出，則需報告溢出，若發(fā)生負溢出，則將結果置為機器零。（3）尾數(shù)相乘（4）結果規(guī)格化：可能需要左規(guī)1位（5）舍入處理：尾數(shù)相乘的結果長度是尾數(shù)長度的兩倍，必須對低位舍入。,浮點乘法運算步驟,63,,浮點數(shù)乘法運算流程,64,二、浮點乘除運算,2、浮點數(shù)除法運算：假設兩個浮點數(shù)X和Y：,65,（1）0操作數(shù)檢查當除數(shù)為0，則報告除法出錯，或者

34、結果（商）無窮大；當被除數(shù)為0，則商為0。（2）階碼相減階碼相減的結果也可能溢出，若發(fā)生正溢出，則需報告浮點數(shù)溢出，若發(fā)生負溢出，則將結果置為機器零。（3）尾數(shù)相除（4）結果規(guī)格化（5）舍入處理,浮點數(shù)除法運算步驟,66,浮點數(shù)除法運算流程,,67,三、浮點運算器,68,本章小結,定點機器數(shù)的加減法運算：通過補碼來實現(xiàn)補碼的加減運算規(guī)則使得計算機中的減法轉化為加法來運算，方便了硬件設計。定點機器數(shù)的乘法運算乘法運算：原碼