函數(shù)凹凸性的應(yīng)用

1、函數(shù)凹凸性的應(yīng)用函數(shù)凹凸性的應(yīng)用什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以兩個(gè)具體函數(shù)為例從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性.如函數(shù)yx?所表示的曲線是向上凸的而所表示的曲線是向下凸的這與我們?nèi)粘Ａ?xí)慣上的稱呼是相類似的.或2yx?更準(zhǔn)確地說(shuō)：從幾何上看若y＝f(x)的圖形在區(qū)間I上是凸的那么連接曲線上任意兩點(diǎn)所得的弦在曲線的上方；若y＝f(x)的圖形在區(qū)間I上是凹的那么連接曲線上任意兩點(diǎn)所得的弦在曲線的下方.如何把此直觀的想法用數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)呢？設(shè)函數(shù)(

2、)fx在區(qū)間I上是凸的（向下凸）任意1x2xI?（12xx?）.曲線()yfx?上任意兩點(diǎn)11(())Axfx11(())Bxfx之間的圖象位于弦AB的下方即任意12()xxx?()fx的值小于或等于弦AB在x點(diǎn)的函數(shù)值弦AB的方程211121()()()()fxfxyxxfxxx?????.對(duì)任意12()xxx?有整理得21122121()()()xxxxfxfxfxxxxx??????.令221()xxtxx???則有01t??且1

3、2(1)xtxtx???易得1211xxtxx????上式可寫成1212[(1)]()(1)()ftxtxtfxtfx?????1.1凸凹函數(shù)的定義凸凹函數(shù)的定義凸性也是函數(shù)變化的重要性質(zhì)。通常把函數(shù)圖像向上凸或向下凸的性質(zhì)，叫做函數(shù)的凸性。圖像向下證?記3231xxxx????則01???及213(1)xxx?????由f的凸性知213()()(1)()fxfxfx?????3221133131()()xxxxfxfxxxxx????

4、??(4)從而有312321213()()()()()()xxfxxxfxxxfx?????即322212321213()()()()()()()()xxfxxxfxxxfxxxfx???????整理即得(3)式.?13xxI??13()xx?(01)???記213(1)xxx?????則123xxx??3221xxxx????由必要性的推導(dǎo)步驟可逆從(3)式便得(4)式.故f為凸函數(shù).同理便知曲線上首尾相連的線其斜率是遞增的即123x