含凹凸函數(shù)的半線性微分方程解的確切個(gè)數(shù).pdf

1、本文研究的方程形如： u"(x)+λf(u(x))=0，-1≤x≤1；u(-1)=u(1)=0. 其中函數(shù)f(u(x))的形式在不同問(wèn)題中不同，例如在研究氣體燃燒的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)f(u(x))=eau/u+a，其中a是參數(shù)；在研究反應(yīng)擴(kuò)散方程時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)，(u(x))；u—au—bu—c，其中a，b，c都是參數(shù)；在很多幾何和數(shù)學(xué)物理分支問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)函數(shù)f(u(x))=up+uq，其中p，q都是參數(shù)，0

2、.等等.對(duì)該類方程解的研究是微分方程學(xué)科的重要分支，經(jīng)分析知方程的解和參數(shù)λ取值及函數(shù)f(u(x))的性質(zhì)都有很大關(guān)系，本文重點(diǎn)研究的就是當(dāng)函數(shù)f(u)是凹凸類型時(shí)對(duì)應(yīng)的方程解的確切個(gè)數(shù).經(jīng)過(guò)閱讀大量的相關(guān)文獻(xiàn)([1][6]，[13]，[20]，[21]，[38][41]，[43]，[46]，[47])，我們知道方程的確切解個(gè)數(shù)的確定是個(gè)很不容易的問(wèn)題([8]，[15]，[17]，[24]，[28]，[37]，[43])，目前只有對(duì)特殊

3、的函數(shù)f(u(x))的一些結(jié)論.對(duì)上述問(wèn)題的研究目前采用的方法主要有：Time—map方法和分歧方法兩種.前一種Time—map方法是一種長(zhǎng)久以來(lái)普遍使用的方法，例如，在Theodore Laetsch，J.Smollerand A.Wasserman.S.—H，Wang，等人的文章中普遍出現(xiàn)(參見(jiàn)文獻(xiàn)([8][15][13][17])等).分歧方法是由TiLi，Tiancheng Ouyang，Jun Ping Shi，Phllip

4、Korman等發(fā)展起來(lái)的，它適用于研究Rn內(nèi)球上的半線性橢圓方程([1][2][5][6][10][24][38][39][40][43]).本論文用Time—map的方法研究一類半線性微分方程的確切解個(gè)數(shù)問(wèn)題.解決了當(dāng)非線性項(xiàng)為兩種不同情形下的微分方程的確切解個(gè)數(shù)問(wèn)題，同時(shí)解決了用Time—map方法確定解曲線的臨界點(diǎn)處轉(zhuǎn)向的問(wèn)題.在高維情形中，證明線性化方程的解為正解是問(wèn)題的最難點(diǎn)([3][4][38]).在文獻(xiàn)[3]中，作者采用一

5、個(gè)重要的恒等式較容易地解決了這個(gè)問(wèn)題，并采用Time—map方法得到確切解的結(jié)論.在文獻(xiàn)[4]中作者利用極值原理和一系列巧妙的構(gòu)造證明了線性化方程的解為正解，并利用變分方法得到了關(guān)于方程的確切解個(gè)數(shù)的一些結(jié)論，同時(shí)也提出了一些開(kāi)放式問(wèn)題，其中之一是對(duì)該問(wèn)題相應(yīng)一維情形下的解曲線的描述，本論文第三章命題二正是對(duì)該問(wèn)題的較好的解決，本論文其它部分的內(nèi)容安排：第一章，緒論；第二章，含有超線性凹凸項(xiàng)的半線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；第三章，含有超線性次