三角形四心(向量形式)

1、第1頁(yè)共5頁(yè)三角形三角形“四心四心”向量形式的充要條件應(yīng)用向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了《平面向量》一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過(guò)課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下：一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1）O是ABC?的重心?0OCOBOA???若O是ABC?的重心，則ABCAOBAOCBOCS31SSS???????故0OCOBOA???為的重心.1()3PGPAPBPC?????????????

2、???????GABC?2）O是ABC?的垂心?OAOCOCOBOBOA?????若O是ABC?(非直角三角形)的垂心，則CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：????故0OCCtanOBBtanOAAtan???3）O是ABC?的外心?|OC||OB||OA|??(或222OCOBOA??)若O是ABC?的外心則C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC??????

3、??：：：：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin???4）O是內(nèi)心ABC?的充要條件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA?????????引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記CABCAB的單位向量為321eee，則剛才O是ABC?內(nèi)心的充要條件可以寫成：0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131?????????O是ABC?內(nèi)心的充要條件也可以是0OCcOB

4、bOAa???若O是ABC?的內(nèi)心，則cbaSSSAOBAOCBOC：：：：????故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa??????或的內(nèi)心||||||0ABPCBCPACAPBP?????????????????????????????ABC?向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；()(0)||||ACABABAC????????????????????ABC?BAC?二范例(一)將平面向量與三角形內(nèi)心

5、結(jié)合考查例1O是平面上的一定點(diǎn)，ABC是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡)(ACACABABOAOP?????????0?一定通過(guò)的（）ABC?（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的ABABAB????AB????AC????單位向量分別為，又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知21ee和APOAOP??)(21eeAP???AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.BAC?ABC?BA

6、C?ACB1eC2eCP第3頁(yè)共5頁(yè)AB(x10)C(x2y2)yxHQGDEF例7若為內(nèi)一點(diǎn)，，則是的（）OABC?OAOBOC??????????????OABC?A內(nèi)心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故是的外心，選B。OABC?OABC?點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8已知向量，，滿足條件=0，||=||=||=1，1OP2

7、OP3OP1OP2OP3OP1OP2OP3OP求證求證△P1P2P3是正三角形.（《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明證明由已知=，兩邊平方得=，1OP2OP3OP1OP2OP21?同理==，2OP3OP3OP1OP21?∴||=||=||=，從而△P1P2P3是正三角形.21PP32PP13PP3反之，若點(diǎn)O是正三角形△P1P2P3的中心，則顯然有=0且||=||=||.1OP2OP3OP1OP2OP3OP即O是△ABC

8、所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0且||=||=||點(diǎn)O是正△P1P2P3的中心.1OP2OP3OP1OP2OP3OP?例9在△ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(00)、B（x10）、C(x2y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有：1122220)()()22222xxxyxyEF?D（、、由

9、題設(shè)可設(shè)1324)()2xQyHxy（、122()33xxyG?212243()()222xxyAHxyQFy??????????????，212()BCxxy??????2212422142()0()AHBCAHBCxxxyyxxxyy??????????????????????????????212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy???????????????????????????