彈性力學(xué)2016年10月20日

1、彈 塑 性 力 學(xué),崔杰（李亞東）土木工程學(xué)院/工程抗震中心,彈性力學(xué)吳家龍 等36學(xué)時(shí)（8次課）,塑性力學(xué)引論王 仁等北京大學(xué)出版社8學(xué)時(shí)（2次課）總復(fù)習(xí)（4學(xué)時(shí)、1次課）考 試 （4學(xué)時(shí)、1次課）,緒 論第一章 應(yīng)力狀態(tài)理論第二章 應(yīng)變狀態(tài)理論第三章 應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系第四章 彈性力學(xué)問題的建立第五章 平面問題的直角坐標(biāo)解

2、答第六章 平面問題的極坐標(biāo)解答第七章 平面問題的復(fù)變函數(shù)解答第八章 柱形桿的扭轉(zhuǎn)和彎曲第九章 彈性力學(xué)方程的通解及其應(yīng)用第十章 熱應(yīng)力第十一章 彈性波的傳播第十二章 彈性薄板的彎曲第十二章 彈性力學(xué)的變分解法,彈性力學(xué)的主要章節(jié)內(nèi)容,塑性力學(xué)要點(diǎn)和說明目的：了解塑性力學(xué)基本概念和要點(diǎn)評價(jià)：很重要的一門學(xué)科特點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)力

3、學(xué)知識內(nèi)容：1）基本概念：塑性（比例極限、彈性極限、屈服應(yīng)力、硬化、軟化、包氏效應(yīng)、加卸載）、粘性、脆性；2）簡化模型：（骨架曲線）理想彈塑性模型、線性強(qiáng)化塑性模型、剛塑性模型；（加卸載模型）等向強(qiáng)化模型、隨動(dòng)強(qiáng)化模型3）π平面、屈服條件、屈服曲面、屈服曲面與π平面的關(guān)系及在π平面上的特點(diǎn)4）屈服條件：Tresca屈服條件、Mises屈服條件、最大偏應(yīng)力屈服條件（表達(dá)式、圖示、與簡單實(shí)驗(yàn)的關(guān)系）5）加載條件：加載條件、加載

4、曲面（后繼屈服面）、等向強(qiáng)化模型、隨動(dòng)強(qiáng)化模型；加載、卸載、中性變載（適用條件）6）幾個(gè)假設(shè)：穩(wěn)定材料假設(shè)、Drucker公設(shè)、伊留辛公設(shè)、三個(gè)公設(shè)的相互關(guān)系7）公設(shè)的推論：加載面的外凸性、正交流動(dòng)法則、增量（流動(dòng)）理論、全量理論程度要求：理解概念，會圖示。,教材與主要參考書,教材：,《彈性力學(xué)》（上冊，第三版）,吳家龍 編,同濟(jì)大學(xué)出版社,參考書：,《彈性理論》,鐵木辛柯 （Timoshenko）編,科學(xué)出版社,《彈性力學(xué)》

5、,徐芝綸編,高等教育出版社,《彈性力學(xué)學(xué)習(xí)方法及解題指導(dǎo)》,王俊民 編,同濟(jì)大學(xué)出版社,《彈性與塑性力學(xué)》（例題與習(xí)題）,徐秉業(yè) 編,機(jī)械工業(yè)出版社,《彈性理論基礎(chǔ)》,陸明萬等 編,清華大學(xué)出版社,力學(xué),學(xué)科分類 · 彈塑性力學(xué),8,1、學(xué)科分類,按運(yùn)動(dòng)與否分：靜力學(xué)：研究力系或物體的平衡問題，不涉及 物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變；如飛機(jī)停在地 面或巡航。,9,● 按研究對象分：,◆ 一般力學(xué)：

6、 研究對象是剛體。研究力及其與 運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。分支學(xué)科有理論力學(xué)等。,◆ 固體力學(xué)：研究對象是可變形固體。研究材料 變形、流動(dòng)和斷裂時(shí)的力學(xué)響應(yīng)。其分支學(xué)科有： 材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、 塑性力學(xué)、 彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流變學(xué)、疲勞等。,◆ 流體力學(xué)：研究對象是氣體或液體。涉及到： 水力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)等學(xué)科。,10,11,2、彈塑性力學(xué),彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支

7、 學(xué)科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度 變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位 移及其分布規(guī)律的一門科學(xué)，是研究固體在 受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段 這兩個(gè)緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門 科學(xué)。,應(yīng)力、應(yīng)力狀態(tài),12,①、應(yīng)力的概念: 受力物體內(nèi)某點(diǎn)某截面上內(nèi)力的分布集度,13,必須指明兩點(diǎn)：1.是哪一點(diǎn)的應(yīng)力；2.是該點(diǎn)哪個(gè)微截面的應(yīng)力。,14,應(yīng)力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取

8、 無限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表 明了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),◆ 應(yīng)力的表示及符號規(guī)則,彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程,15,◆ 表明固體材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時(shí)應(yīng)力 與應(yīng)變，以及應(yīng)力率與應(yīng)變率之間關(guān)系的物性 方程，稱為本構(gòu)方程（關(guān)系）。,◆ 大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，固體受力變形時(shí)，應(yīng)力與應(yīng) 變間的關(guān)系是相輔相成的。,◆ 固體材料在一定條件下，應(yīng)力與應(yīng)變之間各 自有著確定的關(guān)系，這一關(guān)系反

9、映著固體材 料的客觀力學(xué)特性。,16,◆ 固體材料彈性變形具以下特點(diǎn)：,① 彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所 做的功以能量（應(yīng)變能）的形式貯存在物體內(nèi)， 當(dāng)卸載時(shí)，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來，物體的 變形得以完全恢復(fù)；② 無論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài)，還是復(fù)雜應(yīng)力狀 態(tài)，在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例 關(guān)系；③ 對材料加載或卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同。 因此，應(yīng)力與應(yīng)變是一一

10、對應(yīng)的關(guān)系。,17,◆ 固體材料塑性變形具以下特點(diǎn)：,① 塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定 要耗散能量（稱耗散能或形變功）。② 在塑性變形階段，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。由于本構(gòu)方程 的非線性，所以不能使用疊加原理。又因?yàn)榧虞d與卸載的規(guī)律 不同，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即應(yīng)力與相 應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定，而應(yīng)當(dāng)考慮到加載路徑（或加載歷 史）。③ 在載荷作用下，變形體有

11、的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有 的部分已進(jìn)入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都 服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律，而 在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化， 兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)生變化。④ 依據(jù)屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。,緒 論,研究對象和任務(wù)基本假設(shè)發(fā)展與工程應(yīng)用,§1.1 彈性力學(xué)的任務(wù),彈性力學(xué) ——也稱彈性理論是固體力學(xué)學(xué)科

12、的一個(gè)分支（材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)、塑性力學(xué)、粘性力學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)等）,什么是彈性？（研究對象）1）基本屬性；2）“完全彈性”是對彈性體變形的抽象（理想模型）。完全彈性是指在一定溫度條件下，材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間一一對應(yīng)的關(guān)系。這種關(guān)系與時(shí)間無關(guān)，也與變形歷史無關(guān)。材料的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系通常稱為本構(gòu)關(guān)系；——物理關(guān)系或者物理方程線性彈性體和非線性彈性體,,基本任務(wù)——研究由于載荷或者溫度改變，彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的位移、變

13、形和應(yīng)力分布等?！獮榻鉀Q工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問題作準(zhǔn)備。研究對象——彈性體研究內(nèi)容和基本任務(wù)與材料力學(xué)基本相同研究對象近似,,基本任務(wù)研究方法卻有比較大的差別本學(xué)科的（學(xué)習(xí)）目的——建立理論體系（描述、嚴(yán)謹(jǐn)性）、探討解決方法本學(xué)科的目的——熟知基本理論、學(xué)會解決的方法,材料力學(xué)的研究對象是桿件，平面假設(shè)確定橫截面變形?！痪S數(shù)學(xué)問題，求解的基本方程是常微分方程。彈性力學(xué)的研究對象是完全彈性體。只能從微分單

14、元體入手，三維數(shù)學(xué)問題，綜合分析的結(jié)果是偏微分方程邊值問題。,受力分析,彈性力學(xué)的基本思路與研究方法,24,1、彈性力學(xué)分析問題的基本思路,彈性力學(xué)與材料力學(xué)同屬固體力學(xué)的 分支學(xué)科，它們在分析問題解決問題的基本 思路上都是一致的，但在研究問題的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：,25,(1) 受力分析及靜力平衡條件 (力的分析),對一點(diǎn)單元體的受力進(jìn)行分析。若物體受力作用，處于 平衡狀態(tài)，則應(yīng)當(dāng)滿足的條件是什么？（靜力

15、平衡條件）,(2) 變形分析及幾何相容條件 (幾何分析),材料是連續(xù)的，物體在受力變形后仍應(yīng)是連續(xù)的。固體內(nèi)既不產(chǎn)生“裂隙”，也不產(chǎn)生“重疊”。則材料變形時(shí)，對一點(diǎn)單元體的變形進(jìn)行分析，應(yīng)滿足的條件是什么？（幾何相容條件）,26,2、彈性力學(xué)研究問題的基本方法,◆ 材料力學(xué)研究問題的基本方法：,,選一維構(gòu)件整體為研究對象,a、研究方法較簡單粗糙；b、涉及數(shù)學(xué)理論較簡單；c、材料力學(xué)的工程解答一般為近似解。,◆ 彈性力學(xué)研究

16、問題的基本方法,27,1、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴(yán) 密性和普遍適用性為特點(diǎn)；2、彈性力學(xué)的工程解答一般認(rèn)為是精確的；3、可對初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠進(jìn)行度 量。,28,,提出問題，選擇有關(guān)的研究系統(tǒng)。,,,,,,,,,對系統(tǒng)進(jìn)行抽象與簡化，建立力學(xué)模型。,利用力學(xué)原理進(jìn)行分析、推理，得出結(jié)論,與已知結(jié)論相比較，或由實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。,確認(rèn)或進(jìn)一步改善模型，深化認(rèn)識,3、工程力學(xué)一般研究方法,工程力學(xué)解決

17、問題的一般研究方法類似于一般科學(xué)研究的普遍方法，可歸納為：,常微分方程，數(shù)學(xué)求解沒有困難。偏微分方程邊值問題，在數(shù)學(xué)上求解困難重重，除了少數(shù)特殊問題，一般彈性體問題很難得到解析解。這里并不是說彈性力學(xué)分析不再需要假設(shè)，事實(shí)上對于任何學(xué)科，如果不對研究對象作必要的抽象和簡化，研究工作都是寸步難行的。,,研究方法的差別造成彈性力學(xué)與材料力學(xué)問題的最大不同。,簡單性需要——工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則

18、問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。可行性需要——根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時(shí)不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個(gè)可行的范圍。嚴(yán)謹(jǐn)性需要——基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。注意：超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。,§1.2 彈性力學(xué)基本假設(shè),工程材料通常可以分為晶體和非晶體兩種。金屬材料——晶體材料，是由許多原子，離子按一定規(guī)則排列起來的空間格子構(gòu)成，其中間經(jīng)常會有缺陷存在。高

19、分子材料——非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。工程材料內(nèi)部的缺陷、夾雜和孔洞等構(gòu)成了固體材料微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。,§1.2 基本假設(shè)2,1. 連續(xù)性假設(shè),——假設(shè)所研究的整個(gè)彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌B續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。微觀上這個(gè)假設(shè)不可能成立——宏觀假設(shè)。,§1.2 基本假

20、設(shè)3,2. 均勻性假設(shè),——假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個(gè)部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變?！矬w的彈性性質(zhì)處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料。,§1.2 基本假設(shè)4,3. 各向同性假設(shè),——假定物體在各個(gè)不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，

21、這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。 ——宏觀假設(shè)，材料性能是顯示各向同性。當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料。——這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。,§1.2 基本假設(shè)5,4. 完全彈性假設(shè),——對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個(gè)關(guān)系和時(shí)間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。

22、研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。,§1.2 基本假設(shè)6,5. 小變形假設(shè),——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量?！趶椥泽w的平衡等問題討論時(shí)，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?！雎晕灰?、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。,§1.2 基本假設(shè)7,——假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)

23、部沒有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外力或溫度改變而產(chǎn)生的。,6. 無初始應(yīng)力假設(shè),§1.2 基本假設(shè)8,彈性力學(xué)的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐證實(shí)是可行的。,§1.2 基本假設(shè)9,§1.3 彈性力學(xué)的發(fā)展和研究方法,彈

24、性力學(xué)是一門有悠久歷史的學(xué)科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）發(fā)現(xiàn)胡克定律。這一時(shí)期的研究工作主要是通過實(shí)驗(yàn)方法探索物體的受力與變形之間的關(guān)系。,彈性力學(xué)的發(fā)展史,近代彈性力學(xué)的研究是從19世紀(jì)開始的?？挛?828年提出應(yīng)力、應(yīng)變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律?？挛鞯墓ぷ魇墙鷱椥粤W(xué)的一個(gè)起點(diǎn)，使得彈性力學(xué)成為一門獨(dú)立的固體力學(xué)分支學(xué)科。,§1.3 發(fā)展與研究方法2,柯西（A.L

25、.Cauchy）,而后，世界各國的一批學(xué)者相繼進(jìn)入彈性力學(xué)研究領(lǐng)域，使彈性力學(xué)進(jìn)入發(fā)展階段。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的基本理論；,§1.3 發(fā)展與研究方法3,圣維南（A.J.Saint-Venant）,1862年，艾瑞（G.B.Airy）發(fā)表了關(guān)于彈性力學(xué)的平面理論；1881年，赫茲建立了接觸應(yīng)力理論；,§1.3 發(fā)展與研究方法4,赫茲（H.Hertz）,1

26、898年，基爾霍夫建立了平板理論;,1824年生於德國，1887年逝世。曾在海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)任物理學(xué)教授，他發(fā)現(xiàn)了電學(xué)中的“基爾霍夫定理”，同時(shí)也對彈性力學(xué)，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻(xiàn)。,§1.3 發(fā)展與研究方法5,基爾霍夫(G.R.Kirchoff),1930年，Гадёркин發(fā)展了應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論求解彈性力學(xué)問題的方法等。另一個(gè)重要理論成果是建立種能量原理；提出一系列基于能量原理的近似計(jì)算方法。許多科

27、學(xué)家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻(xiàn)。中國科學(xué)家錢偉長，錢學(xué)森，徐芝倫，胡海昌,等在彈性力學(xué)的發(fā)展，特別是在中國的推廣應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)。,§1.3 發(fā)展與研究方法6,錢偉長,錢學(xué)森,胡海昌,§1.3 發(fā)展與研究方法7,徐芝倫,楊桂通,§1.3 發(fā)展與研究方法8,彈性力學(xué)——促進(jìn)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)基本理論的建立和發(fā)

28、展；廣泛工程應(yīng)用——造船、建筑、航空和機(jī)械制造等。發(fā)展——形成了一些專門的分學(xué)科；現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和工程技術(shù)——仍然提出新的理論和工程問題。對于現(xiàn)代工程技術(shù)和科研工作者的培養(yǎng)——對于專業(yè)基礎(chǔ)，思維方法以及獨(dú)立工作能力都有不可替代的作用。,§1.3 發(fā)展與研究方法9,數(shù)學(xué)方法實(shí)驗(yàn)方法二者結(jié)合的方法彈性力學(xué)的基本方程——偏微分方程的邊值問題，求解的方法有解析法和近似解法。解析法在數(shù)學(xué)上難度極大，因此僅適用于個(gè)別特殊邊

29、界條件問題。近似解法對于彈性力學(xué)有重要意義。,§1.3 發(fā)展與研究方法11,數(shù)值解法——計(jì)算機(jī)處理的近似解法?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用為基礎(chǔ)。有限元方法為代表的計(jì)算力學(xué)。以有限元為基礎(chǔ)的CAD, CAE等技術(shù)，使計(jì)算機(jī)不僅成為數(shù)值分析工具，而且成為設(shè)計(jì)分析工具。有限元方法以彈性力學(xué)為基礎(chǔ)，有限元方法將計(jì)算數(shù)學(xué)與工程分析相結(jié)合，極大地?cái)U(kuò)展和延伸了彈性力學(xué)理論與方法，取得了當(dāng)代力學(xué)理論應(yīng)用的

30、高度成就。,§1.3 發(fā)展與研究方法12,數(shù)值解法——計(jì)算機(jī)處理的近似解法?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用為基礎(chǔ)。有限元方法為代表的計(jì)算力學(xué)。以有限元為基礎(chǔ)的CAD, CAE等技術(shù)，使計(jì)算機(jī)不僅成為數(shù)值分析工具，而且成為設(shè)計(jì)分析工具。有限元方法以彈性力學(xué)為基礎(chǔ)，有限元方法將計(jì)算數(shù)學(xué)與工程分析相結(jié)合，極大地?cái)U(kuò)展和延伸了彈性力學(xué)理論與方法，取得了當(dāng)代力學(xué)理論應(yīng)用的高度成就。,發(fā)展與研究方法11,建筑

31、工程,§彈性力學(xué)的應(yīng)用,建筑工程,§1.1 彈性力學(xué)任務(wù)5,塔科馬海峽吊橋（Tacoma Narrows Bridge）,§彈性力學(xué)的應(yīng)用,航空航天工程,§彈性力學(xué)的應(yīng)用,船舶機(jī)械工程,§彈性力學(xué)的應(yīng)用,§1.1 彈性力學(xué)任務(wù)8,§彈性力學(xué)的應(yīng)用,§彈性力學(xué)的應(yīng)用,第二章 應(yīng)力狀態(tài)理論,研究對象——三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡、幾何變形和

32、本構(gòu)關(guān)系等三方面的條件本章從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。,§2.1 體力和面力§2.2 應(yīng)力和一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§2.3 與坐標(biāo)傾斜的微分面上應(yīng)力§2.4 平衡微分方程 應(yīng)力邊界條件§2.5 轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量的變換§2.6 主應(yīng)力與應(yīng)力主方向§2.7 最大切應(yīng)力及方位§2.8 體積應(yīng)力、八

33、面體應(yīng)力單元§2.9 應(yīng)力邊界,§2.1 體力和面力,物體外力——分為兩類體力:重力、慣性力、電磁力 (N/m3)面力：風(fēng)力、液壓力、接觸壓力(N/m2)體力和面力分別為物體單位體積或者單位面積的載荷。,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,外 力,Chapter 3.1,外 力 體 力即分布在物體體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力、運(yùn)轉(zhuǎn)零件的慣性力等。

34、 面 力即作用在物體表面上的力，例如作用在飛機(jī)機(jī)翼上的空氣動(dòng)力、水壩所受的水壓力等。,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,定 義 式體力：,,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,定 義 式,面力：,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,內(nèi) 力物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內(nèi)力。內(nèi)力也是分布力，它起著平衡

35、外力和傳遞外力的作用，是變形體力學(xué)研究的重要對象之一。應(yīng)力的概念正是為了精確描述內(nèi)力而引進(jìn)的。,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,應(yīng) 力 應(yīng)力矢量,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,若取 為變形前面元的初始面積，則上式給出工程應(yīng)力，亦稱名義應(yīng)力，常用于小變形情況。對于大變形問題，應(yīng)取 為變形后面元的實(shí)際面積，稱真實(shí)應(yīng)力，簡稱真應(yīng)力, 也稱柯西應(yīng)力。,應(yīng)力矢量

36、：,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,應(yīng)力的定義,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,應(yīng)力矢量的大小和方向不僅和 M 點(diǎn)的位置有關(guān)，而且和面元法線方向 ? 有關(guān)。,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,作用在同一點(diǎn)不同法向面元上的應(yīng)力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過同一點(diǎn)且法線方向相同，則應(yīng)力矢量也相同。,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,應(yīng)力

37、矢量和 面力矢量的數(shù)學(xué)定義和物理量綱都相同。,區(qū)別在于：應(yīng)力是作用在物體內(nèi)界面上的未知內(nèi)力，而面力是作用在物體外表面的已知外力。當(dāng)內(nèi)截面無限趨近于外表面時(shí)，應(yīng)力也趨近于外加面力之值。,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,正六面體微元: 外法線與坐標(biāo)軸同向的三個(gè)面稱為正面，記為dSi，它們的單位法向矢量為?i＝ei， ei是沿坐標(biāo)軸的單位矢量；另三個(gè)外法線與坐標(biāo)軸反向的面元稱為負(fù)面。,§2.1外力、內(nèi)力

38、與應(yīng)力,Chapter 3.1,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,應(yīng)力分量的正負(fù)號規(guī)定,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,應(yīng)力分量的個(gè)數(shù),§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,Chapter 3.1,把作用在正面dSi上的應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸正向分解得：即：,§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力,§2.2

39、 應(yīng)力與一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),內(nèi)力——外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間的相互作用力(△F)。應(yīng)力應(yīng)力矢量 隨截面的法線方向n的方向改變而變化,,應(yīng)力狀態(tài)——一點(diǎn)所有截面應(yīng)力矢量的集合。顯然，彈性體內(nèi)某確定點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力——應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。應(yīng)力狀態(tài)分析——討論一點(diǎn)截面方位改變引起的應(yīng)力變化趨勢。應(yīng)力狀態(tài)對于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是十分重要的。準(zhǔn)確描述應(yīng)力狀態(tài)，確定合理的應(yīng)力參數(shù)。為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化

40、趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。,§2.2 應(yīng)力2,應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)分解 —沒有工程意義正應(yīng)力和切應(yīng)力正應(yīng)力s n與切應(yīng)力t n 與結(jié)構(gòu)強(qiáng)度關(guān)系密切根據(jù)截面方位不能完全確定切應(yīng)力應(yīng)力分量——應(yīng)力張量應(yīng)力張量可以描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài),§2.2 應(yīng)力3,,應(yīng)力張量,簡化：x=1,y=2,z=3應(yīng)該注意——應(yīng)力分量是標(biāo)量箭頭僅是說明方向, 正負(fù)約定,§2.2

41、 應(yīng)力4,,,應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。 同一點(diǎn)由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。,§2.3 與坐標(biāo)傾斜的微分面上的應(yīng)力,,N的方向余弦為,設(shè)三角形ABC的面積為ΔS,則三角形BPC、CPA、APB的面積分別為l ΔS、m ΔS、n ΔS,體積為ΔV,,同理可得：,,§2.4 平衡微分方程 應(yīng)力邊界條件,平衡物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一

42、點(diǎn)的平衡。微分平行六面體單元,平衡微分方程,,,,,§2.4 平衡方程2,切應(yīng)力互等定理,,,,§2.4 平衡方程2,邊界上的平衡--應(yīng)力邊界條件,,,,§2.4 平衡方程2,§2.5 轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量的變換,如果應(yīng)力張量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則應(yīng)力張量可以描述其它應(yīng)力參數(shù)； 坐標(biāo)變換與應(yīng)力張量關(guān)系； 最大應(yīng)力及其方位的確定。,公式表明：已知應(yīng)力9個(gè)分量，可以確定任意方位微分面的應(yīng)力矢量。

43、當(dāng)然可以確定正應(yīng)力s n與切應(yīng)力t n。,應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系,§2.5 應(yīng)力狀態(tài)2,應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。同一點(diǎn)由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。討論應(yīng)力分量在坐標(biāo)變換時(shí)的變化規(guī)律。,§2.5應(yīng)力狀態(tài)3,§2.5應(yīng)力狀態(tài)3,,§2.5應(yīng)力狀態(tài)3,§2.5應(yīng)力狀態(tài)3,,通過坐標(biāo)軸輪換可得其余6個(gè)應(yīng)力分量，詳見書本。,任意斜截面的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸

44、公式——應(yīng)力分量滿足張量變化規(guī)則應(yīng)力張量為二階對稱張量轉(zhuǎn)軸公式表明：新坐標(biāo)系下的六個(gè)應(yīng)力分量可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。應(yīng)力張量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)軸后，應(yīng)力分量發(fā)生改變。但是作為整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)沒有變化。,§2.5應(yīng)力狀態(tài)4,平面應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式——彈性力學(xué)以坐標(biāo)系定義應(yīng)力分量； 材料力學(xué)以變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量。正應(yīng)力二者定義沒有差異而切應(yīng)力定義方向不同,§2.45

45、應(yīng)力狀態(tài)5,§2.6 主應(yīng)力與應(yīng)力主方向,轉(zhuǎn)軸公式描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡化和有效的參數(shù)——最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力以及方位主應(yīng)力和主平面——應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力不變量——進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài),主應(yīng)力和主平面主應(yīng)力分析,關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組，非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即,§2.6 主應(yīng)力2,展開,其中：,主元之和,代數(shù)主子式之和,應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式,

46、主應(yīng)力特征方程,§2.6 主應(yīng)力3,應(yīng)力狀態(tài)特征方程——確定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向。主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。因此，特征方程的根是確定的，即I1、I2、I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。I1、I2、I3 分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。,§2.6 主應(yīng)力4,特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根s1，s2，s3分別表示這三個(gè)根，代表某點(diǎn)三個(gè)主應(yīng)力。

47、對于應(yīng)力主方向，將s1，s2，s3分別代入,和 l2+m2+n2=1則可求應(yīng)力主方向。,§2.6 主應(yīng)力5,主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無關(guān)。因此特征方程的三個(gè)根是確定的。,特征方程的三個(gè)根，即一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。,任意一點(diǎn)三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的——三個(gè)應(yīng)力主軸正交的。,應(yīng)力不變量性質(zhì),坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力

48、不變量正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。,§2.6 主應(yīng)力6,不變性實(shí)數(shù)性正交性,主應(yīng)力正交性證明：,下面證明下述結(jié)論：1.  若s1≠s2≠s3，特征方程無重根； 應(yīng)力主軸必然相互垂直；2.  若s1＝s2≠s3，特征方程有兩重根； s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若s1=s2=s3，特征方程有三重根； 三個(gè)

49、應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是應(yīng)力主軸。,§2.6 主應(yīng)力7,設(shè)s1，s2，s3 的方向分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），則,分別乘以l2，m2，n2,分別乘以-l1,-m1,-n1,六式相加，可得,§2.6 主應(yīng)力8,如果 s1≠s2≠s3,3個(gè)應(yīng)力主方向相互垂直,如果 s1=s2≠s3,可以等于零，也可以不等于零。,s3與s1和s2的方向垂直，而s1和s2

50、的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2的應(yīng)力主向。,§2.6 主應(yīng)力9,如果 s1=s2=s3,則 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可為零或者不為零。任何方向都是應(yīng)力主方向。,因此問題可證。1.若s1≠s2≠s3，應(yīng)力主軸必然相互垂直；2.若s1＝s2≠s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不

51、垂直；3. 若s1=s2=s3，任何方向都是應(yīng)力主軸。,§2.6 主應(yīng)力10,主應(yīng)力是一點(diǎn)所有微分面上最大或最小的正應(yīng)力。主應(yīng)力和主平面分析確定最大正應(yīng)力及其作用方位；最大切應(yīng)力的確定。討論任意截面正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化趨勢——應(yīng)力圓。最大切應(yīng)力以及方位的確定。,§2.6 主應(yīng)力11,2.7 最大切應(yīng)力及方位,§2.7 切應(yīng)力,應(yīng)力圓最大切應(yīng)力方位,§2.8 體積應(yīng)力、應(yīng)力偏量

52、、八面體單元,應(yīng)力張量的分解應(yīng)力球量改變單元體體積，應(yīng)力偏量改變單元體形狀。,八面體單元,§2.8 應(yīng)力分解2,§2.9 應(yīng)力邊界,彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。邊界面力已知——面力邊界Ss,面力邊界條件——確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。,,§2.9 邊界條件2,面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，平衡微分方程描述彈性體內(nèi)

53、部的平衡。這種平衡只是靜力學(xué)可能的平衡。真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足變形連續(xù)條件。,八面體單元,§2.7 應(yīng)力分解2,例題,,求在,面上的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力,,解,,例1,如圖所示，試寫出其邊界條件。,q,(1),(2),,(3),,(4),,,,,例2 如圖所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為?，試寫出邊界條 件。 解：在x=0上，l= ?1，m =0，

54、 (?x )x=0? (?1) +(?yx)x=0?0 = ?y (?xy)x=0? (?1) +(?y)x=0?0 = 0 (?x)x=0= ??y (?xy)x=0? 在斜邊上 l= cos?，m = ?sin? ?x cos? ? ?yx sin? = 0 ?xycos??