各種圓定理總結(jié)(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓)

1、托勒密定理一些圓定理.doc定理圖定理的內(nèi)容托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)定理的提出一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中

2、摘出。證明一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD因?yàn)椤鰽BE∽△ACD所以BECD=ABAC即BEAC=ABCD(1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BCED=ACAD即EDAC=BCAD(2)(1)(2)得AC(BEED)=ABCDADBC又因?yàn)锽EED≥BD（僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號成立，即

3、“托勒密定理”）所以命題得證復(fù)數(shù)證明用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(ab)、(cd)、(ad)、(bc)、(ac)、(bd)。首先注意到復(fù)數(shù)恒等式：(a?b)(c?d)(a?d)(b?c)=(a?c)(b?d)，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。等號成立的條件是(ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一平面。平面上，托

4、勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK=∠CBD；因?yàn)椤螦BK∠CBK=∠ABC=∠CBD∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理塞瓦定理簡介塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理

5、是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。具體內(nèi)容塞瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則(BDDC)(CEEA)(AFFB)=1證法簡介（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：∵△ADC被直線BOE所截，∴(CBBD)(DOOA)(AEEC)=1①而由△ABD被直線COF所截，∴(BCCD)(DOOA)(AFFB)=1②②①:即得：(BDDC)(CEEA)(AFFB)=1（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明∵BDDC=S△ABDS△AC

6、D=S△BODS△COD=(S△ABDS△BOD)(S△ACDS△COD)=S△AOBS△AOC③同理CEEA=S△BOCS△AOB④AFFB=S△AOCS△BOC⑤③④⑤得BDDCCEEAAFFB=1利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)(BE:EC)(CF:FA)=[(CDctgA）[(CDctgB）][(AEctgB)(AEctgC)][(BF