三垂線定理及逆定理

1、復(fù)習(xí)：什么叫平面的斜線、垂線、射影？,,PO是平面α的斜線, O為斜足;,PA是平面α的垂線, A為垂足;,AO是PO在平面α內(nèi)的射影.,,三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。,,1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。,2、a與PO可以相交，也可以異面。,3、三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平 面的一條斜線和平面內(nèi)

2、的一條直線垂直的判定定理。,對三垂線定理的說明：,三垂線定理,,例題分析：,例1、判定下列命題是否正確,(1)若a是平面α的斜線、直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b。 ( ),2°定理的關(guān)鍵:找一個(gè)平面（基準(zhǔn)面）,強(qiáng)調(diào)：1°四線是相對同一個(gè)平面而言,(2)若a是平面α的斜線，b是平面α內(nèi)的直線，且b垂直于a在β內(nèi)的射影，則a⊥b。 ( ),×,

3、5;,三垂線定理,,例2: 如圖,在△ABC中,∠ACB=90º,AB=8,∠BAC=60º, PC⊥平面ABC,PC=4,M為AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PM的最小值。,,由三垂線定理知PH⊥AB即點(diǎn)M在H時(shí)PM最小,解：作CH⊥AB于H，連PH,在△ABC中，易求得CH=2則在RT△PCH中，PH=2即PM的最小值為2,,∵ PC⊥平面ABC,例3、如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)

4、BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C,∴BD1⊥AC,,∴BD1⊥平面AB1C,證明：連結(jié)BD，,連結(jié)A1B,,三垂線定理,∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD,又DD1⊥平面ABCD,∴BD是斜線BD1在平面ABCD上的射影,而A1B是BD1在平面 ABB1A1內(nèi)的射影 ∴BD1⊥AB1,關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)的垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的，因而是第二位的。,利用三垂線定理證明a⊥

5、b的一個(gè)程序：一垂、二射、三證。,第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線,第二、找射影線，這時(shí)a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。,三垂線定理,第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。,反過來,如果 a ⊥PO ,是否有 a⊥AO?,,,三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么這條直線和斜線的射影垂直.,例4 四面體P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求證PC⊥AB,解:過P作PH⊥面AB

6、C，,連AH延長交BC于E，連BH延長交AC于F,PH⊥平面PBC, PA⊥BC,而PA在面ABC內(nèi)的射影為AH,由三垂線定理的逆定理知BC⊥AH,三垂線定理,則H為△ABC的垂心,同理可證BF⊥AC,,連CH延長交AB于G，于是CG⊥AB,而CH是PC在面ABC的射影故PC⊥AB,請你解決一個(gè)實(shí)際問題：道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有水平測角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？（假設(shè)塔基B、道路處于同