第十講梅涅勞斯定理和塞瓦定理

1、第十講：梅涅勞斯定理和塞瓦定理一、一、梅涅勞斯定理梅涅勞斯定理定理定理1若直線l不經(jīng)過的頂點(diǎn)，并且與的三邊或它們的延長(zhǎng)線分??、、別交于，則、、??=1證明：設(shè)分別是A、B、C到直線l的垂線的?、?、?長(zhǎng)度，則：。??=????????=1注：此定理常運(yùn)用求證三角形相似的過程中的線段成比例的條件。例1若直角中，CK是斜邊上的高，CE是的平分線，E點(diǎn)在?∠AK上，D是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE與CK的交點(diǎn)，證明：。∥【解析解析】因?yàn)樵谥?，作的?/p>

2、分線BH，則：?∠，∠=∠，∠=∠∠∠=∠∠=90，即，所以為等腰三角形，作BC上的高EP，則：⊥?，對(duì)于和三點(diǎn)D、E、F根據(jù)梅涅勞斯定理有：=?，于是，即，根據(jù)分比定??=1======理有：，所以，所以。=???∥例2從點(diǎn)K引四條直線，另兩條直線分別交直線與A、B、C、D和，試證：。1，1，1，1:=1111:1111【解析解析】若，結(jié)論顯然成立；若AD與相交于點(diǎn)L，則把梅涅勞斯定理分別∥1111用于和可得：，，，?1?1?111?

3、1=1?1?111=1?111?1=1，將上面四個(gè)式子相乘，可得：，即：?1?111=1??1111?1111=1:=1111:1111定理定理2設(shè)P、Q、R分別是的三邊BC、CA、AB上或它們延長(zhǎng)線上的三點(diǎn)，并且?P、Q、R三點(diǎn)中，位于邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或2，這時(shí)若，求證???=1P、Q、R三點(diǎn)共線。證明：設(shè)直線PQ與直線AB交于，于是由定理R’1得：，又因?yàn)?，則??‘’=1??=1，由于在同一直線上P、Q、R三點(diǎn)中，位‘’=于邊上的

4、點(diǎn)的個(gè)數(shù)也為0或2，因此R與?或者同在AB線段上，或者同在AB的延長(zhǎng)線上；‘若R與同在AB線段上，則R與必定重合，不然的話，設(shè)，這時(shí)‘‘AR‘二、塞瓦定理二、塞瓦定理定理：定理：設(shè)P、Q、R分別是的BC、CA、AB邊上的點(diǎn)，則AP、BQ、CR三線共點(diǎn)的?充要條件是：。??=1證明：先證必要性：設(shè)AP、BQ、CR相交于點(diǎn)M，則，同理，，以上三=??=??=??=??=??式相乘，得：，再證充分性：若，??=1??=1設(shè)AP與BQ相交于M，

5、且直線CM交AB于，由塞瓦定’理有：，約翰斯：，因?yàn)镽和都在線??’’=1’’=’段AB上，所以必與R重合，故AP、BQ、CR相交于一點(diǎn)M。’例7證明：三角形的中線交于一點(diǎn)。【解析解析】記的中線，，，我們只須證明?111，而顯然有：，，11?11?11=11=11=1，即成立，所以，交于一點(diǎn)，1=111?11?11=1?例8在銳角中，的角平分線交AB于L，從L做邊?∠AC和BC的垂線，垂足分別是M和N，設(shè)AN和BM的交點(diǎn)是P，證明：?！?/p>

6、【解析解析】作，下證CK、BM、AN三線共點(diǎn)，⊥且為P點(diǎn)，要證CK、BM、AN三線共點(diǎn)，根據(jù)塞瓦定理即要證：，又因?yàn)椋匆??=1=證明：，因?yàn)椋?=1????=，即要證，根據(jù)三角????=?=1形的角平分線定理可知：，所以CK、BM、AN三線共點(diǎn)，且為P點(diǎn)，所以?=1?！屠?設(shè)AD是的高，且D在BC邊上，若P是AD上任一點(diǎn)，BP、CP分別與?AC、AB交于E和F，則?！?∠【解析解析】過A作AD的垂線，與DE、DF的延長(zhǎng)線分別交于M、