三角形-“心”的向量關(guān)系

1、1三角形“心”的向量關(guān)系我們都知道，在三角形中，因?yàn)橛腥吅腿?，故有很多的心。其中作為學(xué)生應(yīng)掌握的四個(gè)心：重心，內(nèi)心，外心，垂心。不僅要理解其定義、性質(zhì)，還需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一種研究幾何圖形的另一種工具，所以我們有必要對(duì)它們進(jìn)行整理和歸納，讓同行借鑒。一各心的定義。1重心：三角形三條邊的中線的交點(diǎn)。其性質(zhì)一是連接重心和頂點(diǎn)，延長(zhǎng)后必交于對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)。其性質(zhì)二是重心把中線長(zhǎng)分成2：1。2垂心：三角形三邊的高線的交點(diǎn)

2、。其性質(zhì)為垂心與頂點(diǎn)的連線必與對(duì)應(yīng)的邊垂直。3外心：三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)，即三角形的外接圓的圓心。其性質(zhì)是外心到三頂點(diǎn)等距離。4內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即三角形的內(nèi)切圓的圓心。其性質(zhì)是內(nèi)心到三邊等距離。二各心的向量表示。在三角形ABC中，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，若滿足：O1，則點(diǎn)為三角形的重心。0???OCOBOAO分析：由，以為鄰邊作一平行四邊形，OBOCOA???OCOBOBEC點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，如圖，由向量的平行四邊形法則，有，

3、交BC于D，從而有OBOCOE??OAAOODOE????2故為重心。O3于相似，有，由AD為角A的平分線，有CDEBDO??與DBCDOBCE?，從而有，故ABACDBCD?ABACOBCE?OBABACCE??OBABACCE??ABCODE同理可得，，，而BO為角B的內(nèi)角平分線，BCBDOEOD?BCBDODOE??，ABOABDOD?有，故OAABBCBCABOAOE????AOABBCOE??而，所以，CEOCOE??OBAB

4、ACOCAOABBC????，有OBACOCABOABC??????0???OCABOBACOABC三動(dòng)點(diǎn)的軌跡過三角形心的問題：設(shè)點(diǎn)P為三角形所在平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若滿足：ABC1，（其中），則動(dòng)點(diǎn)Q一定過的重心。)(ACABPAPQ????R????0ABC?2，（其中），則動(dòng)點(diǎn)Q一定過的內(nèi)心。)(ACACABABPAPQ????R????0ABC?分析：由于表示方向的單位向量之和，由菱形性質(zhì)可知，ACACA