關(guān)于動(dòng)量問題的討論

1、關(guān)于動(dòng)量問題的討論,王新明（PB03203142）,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),前 言,大學(xué)的動(dòng)量守恒定律與動(dòng)量定理其實(shí)是對(duì)高中知識(shí)的升華。動(dòng)量守恒定律在一些場(chǎng)合包括微觀領(lǐng)域比牛頓定律更為有用，碰撞及變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用動(dòng)量守恒定律能夠大大降低問題的難度。,一、變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng) 二、一題多解，多種角度進(jìn)行思考三、碰撞問題四、小結(jié)五、建議,一、變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng),例題：球狀小水滴在靜止的霧氣中下落，下落過程中西服了全部所遇到的分子，設(shè)

2、小水滴始終保持球狀，霧氣密度均勻，忽略空氣的粘滯力，重力加速度為g。 試證明經(jīng)過足夠的時(shí)間，水滴的加速度趨于穩(wěn)定并求出此穩(wěn)定值。首先對(duì)該題進(jìn)行分析:,取水滴為主題，在下落過程中不斷吸附霧氣中的水分子作為吸附物，在下過程中質(zhì)量不斷增加，是典型的變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)問題?？捎米冑|(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程：,,v是水滴的速度，u是被吸附霧氣中水分子原先的速度，在題中u=0，F(xiàn)是水滴所受的外力，即重力，且隨水滴吸附霧氣中的水分子，質(zhì)量M增大，F(xiàn)也相應(yīng)增大。因此

3、方程可寫為：,,水滴在下降過程中因吸附霧氣中的水分子體積不斷增大（密度不變）即水滴的半徑r隨時(shí)間t增大而增大。因此可得 與 的關(guān)系，從而由⑴式得出水滴半徑r的方程，解此方程找出r與t的關(guān)系。 另外根據(jù)水滴可吸收途中遇到的全部霧氣質(zhì)量的假設(shè)可找出水滴速度v與 的關(guān)系就可求v與關(guān)系，從而得加速度。 解：水滴加速度為：

4、 ⑴,,,,,因?yàn)樗尾粩辔届F氣中水分子，使水滴加速度比g要小。設(shè)水滴在任一時(shí)間t質(zhì)量為M速度為v半徑為r密度為ρ，則有： ⑵ ⑶ 水滴在時(shí)間內(nèi)掃過霧氣體積

5、為 設(shè)霧氣密度為 ，則該體積內(nèi)霧氣質(zhì)量為 ，就是在時(shí)間內(nèi)增加的質(zhì)量：,,,,,,,⑷ 由以上兩式可得 ⑸代入⑴式可得： + ⑹該方程特解為： ⑺ A為待定系數(shù)，代入⑹得,,,,,,,,所以方程⑹特解為：方程⑹齊次方程為

6、解得所以⑹得解為這就是r與t的關(guān)系式中第一項(xiàng)與t為 關(guān)系.,,,,,,第二項(xiàng)則為t2所以經(jīng)時(shí)間t后第一項(xiàng)可忽略所以,,,,所以吸附全部所遇到的霧氣分子經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后水滴將作勻加速直線運(yùn)動(dòng)加速度a為重力加速度g的七分之一。,二、一題多解，多種角度進(jìn)行思考（課本P164.14）,例題：密度為長(zhǎng)度為L(zhǎng)的鏈條，用手提著一頭，另一頭剛好觸及地面，靜止不動(dòng)，忽然放手，使鏈條自由下落。求當(dāng)鏈條的上端下落的距離為（L-S）

7、時(shí)鏈條作在地面上的力為 。分析：方法一：用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程，可取已在地面上的那部分鏈條作為主體，不斷加入的部分作為附加物。,,方法二：用動(dòng)量定理。鏈條中任意小質(zhì)元的落地速度即為自由下落的速度，落地后速度變?yōu)榱悖鋭?dòng)量改變等于地面給予的沖量。因此得出的面沖力的反作用，既是該質(zhì)元對(duì)地面的壓力，加上已落在地面上的那部分鏈條的重力就是地面所受總壓力。這是運(yùn)用了數(shù)學(xué)的微元法。 方法三：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

8、，把全部鏈條看作質(zhì)點(diǎn)組，起質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)取決于所受重力及地面的支持力。,解：方法一：把地面上鏈條作為主體，其質(zhì)量為：這段鏈條所受外力F為重力-g(L-S)及地面支持力N。即：,,,在dt時(shí)間有質(zhì)量dM為的鏈條加入主體，附加物加入主體前速度為： 由變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程得把前三式代入方程得,,,,,,得證。,,,方法二 用動(dòng)量定理在dt時(shí)間內(nèi)有ds段繩子以速度 下落到地面速度變?yōu)?。則有得證,,

9、,,方法三 用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理把全部鏈條看作質(zhì)心組，下降L－S段鏈條后質(zhì)心有：,,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得代入 得 得證。,,,三、 碰撞問題,例題：在光滑地面上靜止地放著質(zhì)量為m的箱子，在箱內(nèi)光滑地面上，質(zhì)量為m的滑塊以水平速度 開始運(yùn)動(dòng)并與兩壁所復(fù)碰撞。已知滑塊與箱子每碰一次兩者相對(duì)速度改變 倍 。試求⑴最多經(jīng)幾次碰撞后，系

10、統(tǒng)總能量損耗不大于40%。,,,⑵從滑塊開始運(yùn)動(dòng)到完成上述次數(shù)的碰撞后，箱子的平均速度是多少。分析：為了計(jì)算使總動(dòng)能有一定的損耗的碰撞次數(shù)需知道每次碰后箱子與滑塊分別具有的速度與動(dòng)能，顯然僅由滑塊與箱子系統(tǒng)碰撞前后在水平方向的動(dòng)量守恒難以如愿。題目又給出滑塊與箱子碰撞前后相對(duì)速度比即恢復(fù)系數(shù)，為了由此找出碰撞后兩者速度關(guān)系，取質(zhì)心系比較方便，因質(zhì)心系中系統(tǒng)總動(dòng)量為0。,解：取滑塊與箱子為物體系。碰撞時(shí)在水平方向動(dòng)量守恒，總動(dòng)量為

11、mv0。設(shè)質(zhì)心速度為vc，則有：設(shè)箱子碰后相對(duì)地面速度分別為 則有 即,,,,,,可見箱子與滑塊在地面參考系和質(zhì)心系相對(duì)速度相同 ⒈碰前相對(duì)速度為 ，第一次碰后為 第二次 為 ，…… ，第N次為 。即有：因?yàn)橘|(zhì)心系總動(dòng)量為0，所以,,,,,,,,,,,,由以上兩式得 動(dòng)能損失因?yàn)?所以,,,,,,,所以最多碰撞4次。（2）取箱子和

12、滑塊作為質(zhì)心系。設(shè)箱子寬為L(zhǎng)，則箱子總在L/2范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)偶數(shù)次碰撞后總位移為零。所以質(zhì)心系中從靜止到第四次碰撞平均速度為零。又因?yàn)橘|(zhì)心速度為 。,,,,,所以箱子從靜止到第4次碰撞后平均速度為：,,,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得代入 得 得證。,,,小 結(jié),對(duì)于變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)問題，可運(yùn)用變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解。根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)

13、求出相應(yīng)的變量值，然后求解。在解題時(shí)，可以從不同角度思考，拓寬思路，從而選擇最簡(jiǎn)單易懂的方法進(jìn)行解答。在碰撞問題中，如是兩體問題，有時(shí)只運(yùn)用動(dòng)量守恒及能量守恒難以解出，我們可以選取質(zhì)心系，因?yàn)樵谫|(zhì)心系中總動(dòng)量為零，這樣關(guān)系比較簡(jiǎn)單，方便解答。,建 議,講課時(shí)，最好把最基礎(chǔ)的東西講的深一點(diǎn)，使同學(xué)們能理解透徹，那樣老師講比較難懂的問題時(shí)，我們才能理解。比如力學(xué)第一章是最基本的，你卻用很短時(shí)間講完，當(dāng)時(shí)我們聽的一頭霧水，等你再