關于動量問題的討論

1、關于動量問題的討論,王新明（PB03203142）,中國科學技術大學,前 言,大學的動量守恒定律與動量定理其實是對高中知識的升華。動量守恒定律在一些場合包括微觀領域比牛頓定律更為有用，碰撞及變質量物體的運動中應用動量守恒定律能夠大大降低問題的難度。,一、變質量物體運動 二、一題多解，多種角度進行思考三、碰撞問題四、小結五、建議,一、變質量物體運動,例題：球狀小水滴在靜止的霧氣中下落，下落過程中西服了全部所遇到的分子，設

2、小水滴始終保持球狀，霧氣密度均勻，忽略空氣的粘滯力，重力加速度為g。 試證明經過足夠的時間，水滴的加速度趨于穩(wěn)定并求出此穩(wěn)定值。首先對該題進行分析:,取水滴為主題，在下落過程中不斷吸附霧氣中的水分子作為吸附物，在下過程中質量不斷增加，是典型的變質量物體運動問題?？捎米冑|量運動方程：,,v是水滴的速度，u是被吸附霧氣中水分子原先的速度，在題中u=0，F是水滴所受的外力，即重力，且隨水滴吸附霧氣中的水分子，質量M增大，F也相應增大。因此

3、方程可寫為：,,水滴在下降過程中因吸附霧氣中的水分子體積不斷增大（密度不變）即水滴的半徑r隨時間t增大而增大。因此可得 與 的關系，從而由⑴式得出水滴半徑r的方程，解此方程找出r與t的關系。 另外根據水滴可吸收途中遇到的全部霧氣質量的假設可找出水滴速度v與 的關系就可求v與關系，從而得加速度。 解：水滴加速度為：

4、 ⑴,,,,,因為水滴不斷吸附霧氣中水分子，使水滴加速度比g要小。設水滴在任一時間t質量為M速度為v半徑為r密度為ρ，則有： ⑵ ⑶ 水滴在時間內掃過霧氣體積

5、為 設霧氣密度為 ，則該體積內霧氣質量為 ，就是在時間內增加的質量：,,,,,,,⑷ 由以上兩式可得 ⑸代入⑴式可得： + ⑹該方程特解為： ⑺ A為待定系數，代入⑹得,,,,,,,,所以方程⑹特解為：方程⑹齊次方程為

6、解得所以⑹得解為這就是r與t的關系式中第一項與t為 關系.,,,,,,第二項則為t2所以經時間t后第一項可忽略所以,,,,所以吸附全部所遇到的霧氣分子經足夠長的時間后水滴將作勻加速直線運動加速度a為重力加速度g的七分之一。,二、一題多解，多種角度進行思考（課本P164.14）,例題：密度為長度為L的鏈條，用手提著一頭，另一頭剛好觸及地面，靜止不動，忽然放手，使鏈條自由下落。求當鏈條的上端下落的距離為（L-S）

7、時鏈條作在地面上的力為 。分析：方法一：用變質量物體的動力學方程，可取已在地面上的那部分鏈條作為主體，不斷加入的部分作為附加物。,,方法二：用動量定理。鏈條中任意小質元的落地速度即為自由下落的速度，落地后速度變?yōu)榱?，其動量改變等于地面給予的沖量。因此得出的面沖力的反作用，既是該質元對地面的壓力，加上已落在地面上的那部分鏈條的重力就是地面所受總壓力。這是運用了數學的微元法。 方法三：用質心運動方程

8、，把全部鏈條看作質點組，起質心的運動取決于所受重力及地面的支持力。,解：方法一：把地面上鏈條作為主體，其質量為：這段鏈條所受外力F為重力-g(L-S)及地面支持力N。即：,,,在dt時間有質量dM為的鏈條加入主體，附加物加入主體前速度為： 由變質量運動方程得把前三式代入方程得,,,,,,得證。,,,方法二 用動量定理在dt時間內有ds段繩子以速度 下落到地面速度變?yōu)?。則有得證,,

9、,,方法三 用質心運動定理把全部鏈條看作質心組，下降L－S段鏈條后質心有：,,由質心運動定理得代入 得 得證。,,,三、 碰撞問題,例題：在光滑地面上靜止地放著質量為m的箱子，在箱內光滑地面上，質量為m的滑塊以水平速度 開始運動并與兩壁所復碰撞。已知滑塊與箱子每碰一次兩者相對速度改變 倍 。試求⑴最多經幾次碰撞后，系

10、統總能量損耗不大于40%。,,,⑵從滑塊開始運動到完成上述次數的碰撞后，箱子的平均速度是多少。分析：為了計算使總動能有一定的損耗的碰撞次數需知道每次碰后箱子與滑塊分別具有的速度與動能，顯然僅由滑塊與箱子系統碰撞前后在水平方向的動量守恒難以如愿。題目又給出滑塊與箱子碰撞前后相對速度比即恢復系數，為了由此找出碰撞后兩者速度關系，取質心系比較方便，因質心系中系統總動量為0。,解：取滑塊與箱子為物體系。碰撞時在水平方向動量守恒，總動量為

11、mv0。設質心速度為vc，則有：設箱子碰后相對地面速度分別為 則有 即,,,,,,可見箱子與滑塊在地面參考系和質心系相對速度相同 ⒈碰前相對速度為 ，第一次碰后為 第二次 為 ，…… ，第N次為 。即有：因為質心系總動量為0，所以,,,,,,,,,,,,由以上兩式得 動能損失因為 所以,,,,,,,所以最多碰撞4次。（2）取箱子和

12、滑塊作為質心系。設箱子寬為L，則箱子總在L/2范圍內運動，經偶數次碰撞后總位移為零。所以質心系中從靜止到第四次碰撞平均速度為零。又因為質心速度為 。,,,,,所以箱子從靜止到第4次碰撞后平均速度為：,,,由質心運動定理得代入 得 得證。,,,小 結,對于變質量物體運動問題，可運用變質量物體運動方程進行求解。根據題目所給的數據

13、求出相應的變量值，然后求解。在解題時，可以從不同角度思考，拓寬思路，從而選擇最簡單易懂的方法進行解答。在碰撞問題中，如是兩體問題，有時只運用動量守恒及能量守恒難以解出，我們可以選取質心系，因為在質心系中總動量為零，這樣關系比較簡單，方便解答。,建 議,講課時，最好把最基礎的東西講的深一點，使同學們能理解透徹，那樣老師講比較難懂的問題時，我們才能理解。比如力學第一章是最基本的，你卻用很短時間講完，當時我們聽的一頭霧水，等你再