中立型隨機(jī)泛函微分方程的LaSalle型定理.pdf

1、在隨機(jī)微分方程理論中，穩(wěn)定性研究一直是個(gè)熱門課題。學(xué)者們采用了很多不同的方弦和技巧對(duì)穩(wěn)定性問題世行深入的討論，井得到了大量有用的結(jié)果。他們的上作有相當(dāng)多一部分足將常微分方程中的常用的定理和方法推廣到隨機(jī)微分方程中，從而為隨機(jī)微分方程的研究提供一些有效且有益的工具。自然地，人們希望在常微分方程中發(fā)揮巨大作用的Lasaue定理也能應(yīng)用十隨機(jī)微分方程的討論中，但遺憾的是，在過去很長(zhǎng)一段時(shí)間里，將Lasalle定理進(jìn)行改造使之能夠適用十隨機(jī)微分

2、方程的工作一直未能得到實(shí)質(zhì)性的突破。直到上個(gè)世紀(jì)末，才南英籍華裔教授Mao(毛學(xué)榮)做了開創(chuàng)性的工作。他成功地建立起了隨機(jī)微分方程的Lasalle定理，并運(yùn)用他所建立的隨機(jī)Lasalle定理來分析隨機(jī)微分方程，取得了較為豐碩的成果。Mao所建立的隨機(jī)Lasalle定理能夠很好地用于分析隨機(jī)延遲微分方程和隨機(jī)泛函微分方程的各種漸近性質(zhì)。不過對(duì)于更具一般性的中立型隨機(jī)泛函微分方程，他所建立的Lasalle定理出現(xiàn)了瓶頸。因?yàn)橹辛⑿头匠烫赜械?/p>

3、中立項(xiàng)，給分析問題帶來了不小的困難，Mao的結(jié)論并不能直接用于該類方程的討論。 為了解決這個(gè)問題，本文借鑒Mao建立隨機(jī)Lasalle定理的思想和方法，通過對(duì)中立項(xiàng)的相關(guān)條件進(jìn)行特殊的處理，建立了中立型隨機(jī)泛函微分方程的Lasalle定理，并借助于建立的隨機(jī)Lasalle型定理，分析了方程的解的穩(wěn)定性、吸引子、有界性等漸近性質(zhì)，得到了一系列的新的結(jié)果。本研究注意到，在研究方程解的漸好性質(zhì)的大量文獻(xiàn)中，人們往往只能得到方程的解將趨于

4、某一個(gè)區(qū)域的結(jié)論，而對(duì)解趨于這一區(qū)域的速度快慢卻缺少細(xì)致分析，這就不能滿足應(yīng)用上多方面的需要。為了解決這個(gè)問題，在討論中引入了一類“ψ函數(shù)”作為輔助工具。本文將“ψ函數(shù)”與方程的解的乘積當(dāng)作一個(gè)整體，并考慮整體的漸近性質(zhì)。在得到了該乘積的漸近性質(zhì)后，可以借助于有確定表達(dá)式的“ψ函數(shù)”與方程的解函數(shù)的相對(duì)比來揭不解趨于某特定區(qū)域的速度，從而能夠更為細(xì)致地了解方程的解的性質(zhì)。與之相應(yīng)地，本文建立了“ψ函數(shù)穩(wěn)定”的概念，這是一種更具有一般性的

5、穩(wěn)定：指數(shù)穩(wěn)定和多項(xiàng)式穩(wěn)定僅足其的特例之一。通過對(duì)幾類方程的討論，將不同的漸近穩(wěn)定性借助于“ψ函數(shù)”歸結(jié)為一種“ψ函數(shù)穩(wěn)定性”。需要提到的是，這種新的更其一般性的穩(wěn)定性為建立除指數(shù)穩(wěn)定性和多項(xiàng)式穩(wěn)定性等常見穩(wěn)定性之外的新的穩(wěn)定性提供了可能。此外，還同時(shí)建立了“ψ函數(shù)穩(wěn)定”的若干判別標(biāo)準(zhǔn)。 本文應(yīng)用半鞅收斂定理、隨機(jī)微積分的相關(guān)知識(shí)以及矩不等式、Burldlolder-Davis-Gunay不等式和Gronwall不等式等技巧，得

6、到中立型隨機(jī)泛函微分方程的解與特定的“ψ函數(shù)”的乘積在一定的條件下將趨向某非空集合這一結(jié)論，并建立了該中立型方程的隨機(jī)LaSalle型定理。在緊隨其后的穩(wěn)定性、吸引子和有界性等漸近性質(zhì)的分析中，本文均利用了類似的方法和工具，所得到的主要結(jié)果可以視為某種隨機(jī)的LaSalle型定理。最后對(duì)兩類Markov調(diào)制的隨機(jī)微分方程進(jìn)行了討論。對(duì)于Markov調(diào)制的中立型隨機(jī)泛函微分方程，建立了隨機(jī)LaSalle型定理，從而將本研究的工作推廣到一種更