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文檔簡(jiǎn)介
1、算子理論產(chǎn)生于20世紀(jì)初,由于其在數(shù)學(xué)和其它學(xué)科中的廣泛應(yīng)用,在20世紀(jì)的前三十年得到迅速發(fā)展,近年來Shorted算子與Schur補(bǔ)的研究已成為算子理論研究的熱點(diǎn)問題之一.設(shè)H表示無窮維復(fù)可分Hilbert空間,我們用B(H)<'+>表示H上的所有有界線性正算子全體。設(shè)A∈B(H)<'+>,S是H的一個(gè)閉子空間,則算子A關(guān)于S的shorted算子定義為∑(s,A)=max{X ∈B(H)<'+>:X≤A且R(X) S},這里的最大值是
2、在偏序集(B(H),≥)中取得的.對(duì)于正算子A與子空間S,設(shè)P(A,S)為這里P表示所有冪等算子全體.若集合P(A,S)是非空的則我們稱元素對(duì)(A,S)是匹配的。本文研究內(nèi)容涉及Shorted算子的幾何結(jié)構(gòu)、元素對(duì)(A,S)的匹配性、正算子的下確界及算子方程的正解問題.在Shorted算子方面,對(duì)于給定的A∈B(H)<'+>,S H,得到了∑(S,A)的幾何結(jié)構(gòu)及元素對(duì)(A,S)匹配的充要條件.效應(yīng)代數(shù)方面,Hilbert空間上兩個(gè)效應(yīng)
3、的下確界問題是確定在何種條件下效應(yīng)A和B∈ε(H)的下確界A∧B存在。本文把兩個(gè)效應(yīng)的下確界問題推廣到兩個(gè)正算子的下確界問題,對(duì)任意的A,B∈B(H)<'+>,得到了下確界A∧B存在的充要條件。在算子方程方面,首先對(duì)列算子矩陣的條件下,得到了其Moore-Penrose廣義逆的表達(dá)形式,其次對(duì)于無限維Hilbert空間上的算子方程AY=C的正解問題進(jìn)行了研究,得出了算子方程AX=C有正解的等價(jià)條件及正解的通式。 本文共分四章:
4、 第一章主要介紹本文要用到的一些符號(hào)、概念及定理,例如正算子譜,Shorted算子,匹配性,下確界等概念;同時(shí)又介紹了一些熟知的定理如值域包含定理,譜映射定理等。 第二章我們主要運(yùn)用算子分塊矩陣的技巧來研究Shorted算子,揭示了任意一個(gè)正算子A與它的Shorted算子∑(S,A)的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系。其次,我們刻畫了(A,S)的匹配性,這里A是一個(gè)自伴算子,S是H的一個(gè)閉子空間;特別地,當(dāng)A是正算子時(shí)對(duì)集合P(A,5)={Q
5、∈P:R(Q)=s,AQ=Q<'*>A}從算子幾何結(jié)構(gòu)方面給出了詳細(xì)刻畫,這里的P表示Hilbert空間H上所有冪等算子全體,S 表示子空間S在H中的正交補(bǔ)空間。 第三章在無限維Hilbert空間上,利用Shorted算子來研究兩個(gè)正算子A,B ∈B(H)<'+>的下確界問題,得到了下確界A∧B存在的充要條件。主要結(jié)論如下: (1)設(shè)A∈B(H)<'+>,P是到閉子空間S上的正交投影,則P∧A存在當(dāng)且僅當(dāng)σ(∑(S,A)
6、) {0}∪[1,||A||]或σ(∑(S,A)) [0,1]。 (2)設(shè)A,B∈B(H)<'+>則正算子A,B的下確界A∧B存在當(dāng)且僅當(dāng)∑(S<,0>,A)與∑(S<,0>,B)是可比較的,這里S<,0>=R(A)∩R(B)。 第四章我們首先研究了列算子矩陣在R(A<,1><'*>)∩R(A<,2><'*>)={0}的條件下的Moore-Penrose逆的表達(dá)形式;然后探討了算子方程AX=C有自伴解和正解的條件,分別得
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