（2+1）維非線性系統(tǒng)的局域激發(fā)模式及其分形和混沌行為研究.pdf

1、孤子、分形和混沌是非線性科學(xué)的三個(gè)重要方面。傳統(tǒng)的學(xué)術(shù)研究，這三部分是彼此分開獨(dú)立討論的，因?yàn)槿藗円话愕卣J(rèn)為孤子是可積系統(tǒng)的基本激發(fā)模式而分形和混沌是不可積系統(tǒng)的基本行為。也就是說，人們不會(huì)去考慮孤子系統(tǒng)中存在分形和混沌行為。但是，上述這些傳統(tǒng)觀點(diǎn)可能不全面，仍至有待修正，特別是在高維系統(tǒng)中的情形。 本論文圍繞一些具有廣泛物理背景的(2+1)維非線性系統(tǒng)的局域激發(fā)模式及其相關(guān)非線性特性-分形特征和混沌行為展開討論，這些(2+1)

2、維非線性系統(tǒng)源于流體，等離子體，場(chǎng)論，凝聚態(tài)物理，力學(xué)和光學(xué)等實(shí)際問題。首先借鑒線性物理中的分離變量理論和非線性物理的對(duì)稱約化思想，本文對(duì)處理非線性問題的多線性分離變量法和直接代數(shù)法進(jìn)行研究和推廣，對(duì)形變映射理論進(jìn)行創(chuàng)新，得到了一些新的結(jié)果。然后，根據(jù)非線性系統(tǒng)的多線性分離變量解和廣義映射解，分別討論了(2+1)維局域激發(fā)模式及其相關(guān)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。本文研究表明，多線性分離變量方法與廣義映射方法甚至Charkson-Kruskal約

3、化方法蘊(yùn)藏著內(nèi)在的有機(jī)聯(lián)系。另外，本文所得結(jié)果說明混沌和分形存在于高維非線性系統(tǒng)是相當(dāng)普遍的現(xiàn)象?，F(xiàn)將本文的主要內(nèi)容概述如下： 第一章簡(jiǎn)要回顧了孤波的發(fā)現(xiàn)與研究歷史，總結(jié)了當(dāng)前研究的狀況，并概述了孤子、混沌和分形三者之間的傳統(tǒng)學(xué)術(shù)關(guān)系，列舉了一些新的或典型的(2+1)維非線性系統(tǒng)，最后給出了本論文的研究工作按排。 第二章將多線性分離變量法推廣應(yīng)用到若干(2+1)維非線性系統(tǒng)，如：廣義Broer-Kaup系統(tǒng)、廣義Ablo

4、witz-Kaup-Newell-Segur系統(tǒng)、廣義Nizhnik-Novikov-Vesselov系統(tǒng)、廣義非線性SchrSdinger擾動(dòng)系統(tǒng)、及Boiti-Leon-Pempinelli系統(tǒng)等，并得到一個(gè)相當(dāng)廣義的多線性分離變量解，可以用來描述系統(tǒng)場(chǎng)量或相應(yīng)勢(shì)函數(shù)，進(jìn)而討論基于多線性分離變量解引起的(2+1)維系統(tǒng)局域激發(fā)及其相關(guān)非線性特性。文中報(bào)導(dǎo)了一些典型的局域激發(fā)模式，如：平面相干孤子dromions為所有方向都呈指數(shù)衰減

5、的相干局域結(jié)構(gòu)，可以由直線孤子，也可以由曲線孤子形成，不僅局域在直線或曲線的交點(diǎn)，也可以存在與曲線的近鄰點(diǎn)上。而dromions格子則為多dromions點(diǎn)陣，振蕩型dromions在空間某一方向上產(chǎn)生振蕩。環(huán)孤子為非點(diǎn)狀的局域激發(fā)，在閉合曲線的內(nèi)部不為零，閉合曲線外部指數(shù)衰減。呼吸子則是孤子的幅度、形狀、峰間的距離及峰的數(shù)目可能進(jìn)行“呼吸”。瞬子的幅度隨時(shí)間的變化而快速衰減。周期性孤子在時(shí)間或空間上呈現(xiàn)周期性特征。尖峰子在波峰處有一個(gè)

6、尖點(diǎn)，其一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。緊致子是在某有限區(qū)域上幅值不為零，而在這個(gè)有限區(qū)域之外幅值一致為零的一類特殊孤波。折疊子是在各個(gè)方向同時(shí)褶皺的多值孤波?；煦绻伦雍头中喂伦诱故境龉虏ㄐ螒B(tài)中的分形特征和混沌行為。 第三章將雙曲函數(shù)法、橢圓函數(shù)法和直接代數(shù)法推廣到非線性離散系統(tǒng)及變系數(shù)系統(tǒng)，如：Ablowitz-Ladik-Lattice系統(tǒng)、Hybrid-Lattice系統(tǒng)、TodaLattices系統(tǒng)、相對(duì)論TodaLattices系統(tǒng)、

7、離散mKdV系統(tǒng)和變系數(shù)KdV系統(tǒng)等，得到這些非線性系統(tǒng)的精確行波解，如離散系統(tǒng)的孤波解，Jacobian雙周期波；變系數(shù)系統(tǒng)的周期波解，孤波解，Jacobian雙周期波，Weierstrass雙周期波解，有理函數(shù)和指數(shù)函數(shù)解等。 第四章利用對(duì)稱約化思想，提出了一種廣義映射方法，突破了現(xiàn)有映射理論只能求解系統(tǒng)行波解的約束，并成功地運(yùn)用若干(2+1)維非線性系統(tǒng)中，如：Broer-Kaup-Kupershmidt系統(tǒng)、Boiti-

8、Leon-Pempinelli系統(tǒng)、廣義Broer-Kaup系統(tǒng)和色散長(zhǎng)波系統(tǒng)等，得到了新型的分離變量解，也稱為廣義映射解。然后對(duì)廣義映射法作對(duì)稱延拓，發(fā)現(xiàn)上述(2+1)維非線性系統(tǒng)豐富的對(duì)稱映射解。根據(jù)所求得的映射解，我們可以得到豐富的局域激發(fā)結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，基于多線性分離變量解得到的所有局域激發(fā)，用廣義映射理論同樣可以得到。 第五章，依據(jù)第四章得到的(2+1)維非線性系統(tǒng)新的廣義映射通解，分析了若干新的或典型的局域激發(fā)模式，如

9、：傳播孤子與不傳播孤子，單值與多值復(fù)合的半折疊孤子，裂變孤子和聚合孤子及其演化行為特性等，討論了一些典型孤子所蘊(yùn)涵的分形特征和混沌動(dòng)力學(xué)行為。研究結(jié)果再次表明混沌、分形存在于高維非線性系統(tǒng)是相當(dāng)普遍的現(xiàn)象，其根源在于可積系統(tǒng)的初始狀態(tài)或邊界條件具有“不可積”的分形特性或混沌行為，修正了人們長(zhǎng)期認(rèn)為孤波產(chǎn)生于可積非線性系統(tǒng)而混沌、分形只存在于不可積非線性系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)局限性。與此同時(shí)，還分析并建立了(2+1)維非線性系統(tǒng)的廣義映射解與多線性分