科學與工程計算中的Fourier級數(shù)多尺度方法.pdf

1、近年來,科學與工程中的多尺度問題引起了計算科學工作者的重視。多尺度問題中區(qū)域幾何參數(shù)或材料物理參數(shù)在多個量級上變化,導致求解區(qū)域中具有大梯度特性的邊界層或間斷層出現(xiàn)。對于多尺度問題而言,傳統(tǒng)的計算分析方法逐步暴露出精度不高、計算量大的缺點,甚至由于求解模式的內(nèi)在局限而難以應(yīng)用。因此,如何改進傳統(tǒng)分析方法,建立靈活、精確、高效的多尺度計算手段構(gòu)成未來10年、乃至更長一段時期內(nèi)計算科學的熱點研究方向。
　　 其中,通過對傳統(tǒng)的數(shù)值計

2、算方法進行改進,已先后提出穩(wěn)定化有限元方法、泡函數(shù)方法、小波有限元方法、無網(wǎng)格方法、基于有限增量微積分的多尺度方法、變分多尺度方法等一批多尺度方法,掀起了多尺度方法研究的一次小高潮。但由于研究工作仍局限在數(shù)值計算方法的理論框架內(nèi),相應(yīng)的研究成果不可避免地具有數(shù)值計算方法的計算成本高、場變量高階導數(shù)計算精度低、計算參數(shù)對計算結(jié)果影響分析困難等不足。為此,本文將從數(shù)值計算方法的理論框架中走出來,及時進入解析計算方法的理論框架中去,著力拓展多

3、尺度方法理論研究與運用研究。
　　 本文在傳統(tǒng)解析計算方法——Fourier級數(shù)方法已有研究成果的基礎(chǔ)上,開展多尺度問題解析求解方法研究工作。通過推導函數(shù)高階(偏)導數(shù)的Fourier級數(shù)的一般表達式奠定方法研究的理論基礎(chǔ)；在統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)上,發(fā)展函數(shù)及其高階(偏)導數(shù)聯(lián)合逼近的復合Fourier級數(shù)方法理論體系；并結(jié)合新的理論體系,逐步形成多尺度計算中簡明、高效的解析計算手段——Fourier級數(shù)多尺度方法。
　　 本

4、文研究工作主要由以下三部分組成:
　　 第一部分為理論基礎(chǔ)研究部分。其中,第2章運用Stokes變換技巧,獲得了函數(shù)不同階次(偏)導數(shù)的Fourier級數(shù)中Fourier系數(shù)之間的迭代關(guān)系以及關(guān)于函數(shù)高階(偏)導數(shù)的Fourier級數(shù)的一般表述結(jié)果,構(gòu)建出函數(shù)高階(偏)導數(shù)以及函數(shù)常系數(shù)線性微分算子中系數(shù)集合,并進一步明確了函數(shù)Fourier級數(shù)逐項可導的充分條件。關(guān)于函數(shù)Fourier級數(shù)高階求導過程中函數(shù)的Fourier系數(shù)

5、、函數(shù)的邊界Fourier系數(shù)、函數(shù)的邊界(端點)值或函數(shù)的角點值等系數(shù)分布規(guī)律的理論分析深化了函數(shù)Fourier級數(shù)的高階(偏)導數(shù)運算的復雜性認識,并糾正了Chaudhuri的理論錯誤。第3章基于Fourier級數(shù)逐項2r次(r為正整數(shù))可導的技術(shù)要求,確立了函數(shù)的分解結(jié)構(gòu),構(gòu)建了復合Fourier級數(shù)聯(lián)合逼近方法框架體系,完成了基于代數(shù)多項式插值的復合Fourier級數(shù)聯(lián)合逼近方法的完備代數(shù)多項式再生性理論分析以及逼近精度算例驗證

6、。復合Fourier級數(shù)方法是帶補充項的Fourier級數(shù)方法理論體系的完善,不僅擺脫了函數(shù)邊界條件的強烈依賴性,具備函數(shù)及其2r階(偏)導數(shù)一致逼近、聯(lián)合逼近的能力,而且全面實現(xiàn)了逼近函數(shù)序列中不同性質(zhì)函數(shù)的均衡使用、有機融合。
　　 第二部分為計算方法研究部分。第4章針對具有一般邊界條件的2r階常系數(shù)線性微分方程中多尺度現(xiàn)象的解析求解問題,分析了基于代數(shù)多項式插值的復合Fourier級數(shù)聯(lián)合逼近方法的局限性,發(fā)展了基于微分方

7、程齊次解插值的復合Fourier級數(shù)方法的新型求解模式,確立了Fourier級數(shù)多尺度方法的理論框架,并在此基礎(chǔ)上明確了微分方程解函數(shù)的分解結(jié)構(gòu),細化了Fourier級數(shù)多尺度方法中技術(shù)環(huán)節(jié)的實施方法。Fourier級數(shù)多尺度方法既充分利用已有Fourier級數(shù)方法的成就,又突出解函數(shù)結(jié)構(gòu)分解的基礎(chǔ)地位,實現(xiàn)了Fourier級數(shù)解形式的確定性、靈活性的完美結(jié)合。
　　 第三部分為應(yīng)用案例研究部分。其中,第5章、第6章分別針對Fo

8、urier級數(shù)多尺度方法在一維、二維對流擴散反應(yīng)方程以及雙參數(shù)地基上厚板彈性彎曲問題中的運用問題,導出了具體的Fourier級數(shù)多尺度解形式,利用數(shù)值算例分析了Fourier級數(shù)多尺度解的收斂特性,完成了Fourier級數(shù)多尺度計算方案的優(yōu)化設(shè)置,并揭示了對流擴散反應(yīng)方程和雙參數(shù)地基上厚板彈性彎曲問題的多尺度性態(tài)。第7章針對Fourier級數(shù)多尺度方法在矩形截面梁中波傳播問題中的運用問題,導出了基于三維彈性動力學方程的矩形截面梁中波傳播

9、問題的Fourier級數(shù)多尺度解形式,明確了矩形截面梁中波型的對稱性分解以及頻率方程獲取、求解的實施方法,并利用數(shù)值算例分析了矩形截面梁中Fourier級數(shù)多尺度解收斂特性、彈性波在方形截面梁中的傳播特性及其多尺度表現(xiàn)形式。關(guān)于Fourier級數(shù)多尺度方法的算例驗證規(guī)范了Fourier級數(shù)多尺度方法的運用過程,實現(xiàn)了Fourier級數(shù)多尺度解形式與離散系統(tǒng)導出技術(shù)的有效融合,充分體現(xiàn)出邊界條件、乃至計算參數(shù)大范圍變動情況下Fourier