對流擴散問題的多尺度方法.pdf

1、本文研究的內(nèi)容主要分成兩部分。
　　 在第一部分中，我們研究了一維奇異攝動對流擴散問題的指數(shù)擬合局部間斷有限元方法。由于奇異攝動問題的解通常含有邊界層，如果我們用標準有限元方法去求解，當網(wǎng)格剖分h比擴散系數(shù)"大時，所得數(shù)值解將會產(chǎn)生非物理震蕩。因此我們需要要求網(wǎng)格剖分h比擴散系數(shù)" 要小。當" 很小的時候，這超出了我們的計算能力。我們希望在粗網(wǎng)格上求解這個問題。在這一部分，我們在局部間斷有限元方法的框架下，通過指數(shù)擬合的技術(shù)去克

2、服這個困難。根據(jù)間斷有限元空間的靈活性，我們在有限元空間中添加符合邊界層性質(zhì)的指數(shù)函數(shù)。
　　 最后我們證明了該方法在能量模的意義下是一階一致收斂的。這里‘一致'指的是能量誤差不依賴于小的擴散系數(shù)，網(wǎng)格剖分長度h，以及原問題的精確解u。
　　 通過數(shù)值試驗，我們證實了所得到誤差估計結(jié)果。
　　 在第二部分中，我們考慮多尺度對流擴散問題，其中擴散系數(shù)和對流速度包含多尺度信息。如果在細網(wǎng)格上求解這個問題，工作量將會太

3、大，所以我們構(gòu)造了異質(zhì)多尺度間斷有限元方法。這個方法是在異質(zhì)多尺度方法的框架下去求解多尺度對流擴散問題。對于橢圓和拋物均勻化問題，異質(zhì)多尺度方法由兩部分組成：粗網(wǎng)格上選取一個合適的宏觀求解器，以及通過求解局部微觀問題去估計未知的宏觀數(shù)據(jù)。在這一部分中我們選取內(nèi)部懲罰間斷有限元方法作為宏觀求解器，這是因為這是求解對流擴散問題的一個有效的方法。該方法的未知宏觀數(shù)據(jù)包括單元內(nèi)部的通量和單元邊界上的通量。為了估計單元內(nèi)部的未知通量，我們采用純擴