對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題的特征有限元方法.pdf

1、偏微分方程最優(yōu)控制（設(shè)計(jì)）問(wèn)題的研究是數(shù)學(xué)科學(xué)中一個(gè)充滿活力和生命力的領(lǐng)域，在過(guò)去的30年間得到了廣泛的研究和應(yīng)用.作為數(shù)學(xué)尤其是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它涵蓋了許多領(lǐng)域，比如時(shí)間控制，反應(yīng)回饋控制，流體控制，最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)（包括材料設(shè)計(jì)，晶體增長(zhǎng)及化學(xué)反應(yīng)等），多尺度問(wèn)題最優(yōu)控制及參數(shù)估計(jì)等，相關(guān)文獻(xiàn)可見(jiàn)[55，71，72，80，81]等.最近五年以下幾個(gè)方面得到了大家的廣泛關(guān)注： ★數(shù)值離散； ★大型優(yōu)化問(wèn)題的快速求解；

2、 ★自適應(yīng)有限元方法； ★三維時(shí)變問(wèn)題的有效算法； ★多尺度系統(tǒng)控制等. 一般而言，我們所關(guān)心的最優(yōu)控制問(wèn)題大多數(shù)都可以表示成如下符號(hào)形式：（0CP） 其中J為目標(biāo)泛函； y稱(chēng)為狀態(tài)變量，并且屬于狀態(tài)空間V； u是控制變量，并且屬于控制空間U； Uad稱(chēng)為控制（設(shè)計(jì)）相容集； A為空間V×Uad上的某一特定算子. 通常狀態(tài)方程A（y；u）=0可以表示某一

3、偏微分方程，或變分不等式，甚至結(jié)合了狀態(tài)受限，更詳細(xì)的說(shuō)明將在下文給出.最優(yōu)控制的基本思想就是通過(guò)"控制"變量來(lái)控制狀態(tài)，從而由狀態(tài)方程最終來(lái)確定狀態(tài).而事實(shí)上這些狀態(tài)變量（例如某一系統(tǒng)的溫度或者位置等）通常都難以直接去控制.有時(shí)我們也稱(chēng)控制變量為設(shè)計(jì)變量，控制空間為設(shè)計(jì)空間，稱(chēng)狀態(tài)變量為系統(tǒng)變量. 最優(yōu)控制（設(shè)計(jì)）在實(shí)際工程應(yīng)用方面起到了非常重要的作用，而有效的數(shù)值方法對(duì)于最優(yōu)控制的成功運(yùn)用也是至關(guān)重要的。當(dāng)前，在最優(yōu)控制問(wèn)題

4、的計(jì)算方面有限元方法似乎是應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法，大量的研究文獻(xiàn)讀者可以參考[4.9，31，35，48，52.60，61，62，63，65，70，71]及其相關(guān)引文.在這些文獻(xiàn)中作者們集中討論了大量橢圓與時(shí)變方程最優(yōu)控制問(wèn)題的先驗(yàn)、后驗(yàn)誤差估計(jì)及其收斂性分析.但是對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題的研究這僅僅是鳳毛麟角，很難用一兩句話概括的清.關(guān)于偏微分方程有限元方法與最優(yōu)控制問(wèn)題的系統(tǒng)介紹，相關(guān)文獻(xiàn)可見(jiàn)[24，55，72，81]等. 有限元方法在

5、偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題中的應(yīng)用已有廣泛和深入的研究.例如在文獻(xiàn)[35，39，52]中討論了線性橢圓方程的情況，在[5]中討論了半線性橢圓方程的情況，在[60，64]中討論了非線性橢圓方程的情況，在[57，62]中討論了斯托克斯方程的情況，在[4，53，63，69，70]中則討論了線性拋物方程的情況以及其他一些方程見(jiàn)[11，25，87，89]等.但是，據(jù)我們所知在時(shí)變對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題方面，我們是首先發(fā)表文章的人，詳情見(jiàn)文獻(xiàn)[32]

6、或第一章中部分內(nèi)容.讓我們回憶時(shí)變對(duì)流擴(kuò)散方程作為一種數(shù)學(xué)模型的廣泛應(yīng)用，它可以用來(lái)模擬油藏的運(yùn)移，環(huán)境的變化，地下水污染運(yùn)移，熱量的傳播，移動(dòng)流體的溶解過(guò)程及其它一些應(yīng)用見(jiàn)[8，29]等.而在許多的實(shí)際應(yīng)用中我們知道Peclet數(shù)是很大的，因此這類(lèi)問(wèn)題就表現(xiàn)出非常強(qiáng)的對(duì)流占優(yōu)的特性.其解會(huì)有很尖銳的移動(dòng)前沿及復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，從而給數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)本身都帶來(lái)很大的困難.正如大家所熟知的那樣，對(duì)于對(duì)流占優(yōu)的這類(lèi)對(duì)流擴(kuò)散方程，古典的有限差分方法或

7、有限元離散會(huì)產(chǎn)生過(guò)多的并且讓人難以接受的非物理震蕩，這是因?yàn)檫吔鐚雍茈y處理；而古典的迎風(fēng)方法則會(huì)產(chǎn)生過(guò)多的數(shù)值彌散，從而磨平了尖銳的移動(dòng)前沿.此外，這種方法得到的數(shù)值解還會(huì)嚴(yán)重的依賴(lài)于所選取的差分網(wǎng)格.為了減少以上所提到的這些現(xiàn)象，人們提出并分析了許多新的技巧，比如流線擴(kuò)散有限元方法[44]，殘量自由泡函數(shù)方法[16]，間斷Galerkin有限元方法[49]，邊穩(wěn)定化Galerkin方法[17]，以及專(zhuān)門(mén)處理時(shí)變問(wèn)題的特征線方法（像：M

8、MOC方法[27，30]，MMOCAA方法[26]，ELLAM方法[21，83]，CMFEM方法[6]）等. 盡管上面所提到的這些技巧都適用于對(duì)流占優(yōu)的對(duì)流擴(kuò)散方程，但是將它們直接應(yīng)用到最優(yōu)控制問(wèn)題上在許多情況下卻并不是那么容易.據(jù)我們所知，到現(xiàn)在為止在穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制方面也僅有幾篇文章發(fā)表，最早在文獻(xiàn)[25]中作者討論了將SUPG方法應(yīng)用到最優(yōu)控制問(wèn)題中；文獻(xiàn)[11]采用了局部投影穩(wěn)定化有限元方法，即所謂的LPS方法；

9、最近，在文獻(xiàn)[87]中作者則考慮了邊穩(wěn)定化方法.在拋物方程最優(yōu)控制問(wèn)題方面發(fā)表的文獻(xiàn)也不多見(jiàn)，主要有[53，63，69，70]等幾篇文獻(xiàn).在非穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題方面，除了我們的文章之外甚至沒(méi)有見(jiàn)到任何其它文章發(fā)表.眾所周知特征線方法具有很好的穩(wěn)定性，而且從物理的角度來(lái)看特征線算法更加的自然，因?yàn)樗芎玫哪M了物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.此外，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看特征線算法也是非常有魅力的，因?yàn)樗沟梦覀冄芯康膯?wèn)題對(duì)稱(chēng)化了.正是基于此，博士期間

10、我的主要工作也集中在討論用特征有限元方法來(lái)逼近瞬態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題上.我們主要討論了兩類(lèi)對(duì)流擴(kuò)散方程，第一類(lèi)我們考慮了速度場(chǎng)不可壓縮的情況，并給出了先驗(yàn)及后驗(yàn)誤差估計(jì).這部分工作將在第一章和第二章中闡述.接著第二類(lèi)情況我們考慮散度型對(duì)流擴(kuò)散方程并且假定速度場(chǎng)是可壓縮的，給出了先驗(yàn)誤差分析.這部分結(jié)果將在第三章中給出. 從已有的研究成果來(lái)看，在諸多類(lèi)型的有限元方法的計(jì)算中，自適應(yīng)有限元因其高效性已成為當(dāng)前科學(xué)和工程計(jì)算領(lǐng)域

11、內(nèi)一個(gè)重要課題.為了得到高精度的數(shù)值解，自適應(yīng)方法的本質(zhì)正是在于通過(guò)后驗(yàn)誤差估計(jì)得到的指示子作為加密的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的局部加密.它的實(shí)現(xiàn)機(jī)理就是在指示子大的地方進(jìn)行網(wǎng)格加密，也即在函數(shù)正則性較差或解結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的地方網(wǎng)格點(diǎn)分布較密.所以，自適應(yīng)有限元方法的有效性和可靠性就嚴(yán)重依賴(lài)于所采用的指示子.關(guān)于指示子有很多種，譬如殘量類(lèi)型，分層類(lèi)型，基于局部平均就是所謂的目標(biāo)定向?qū)ε技訖?quán)方法的類(lèi)型，泛函型誤差控制子等等，具體可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[4，7，

12、82]等.從眾多相關(guān)文獻(xiàn)中可以看出偏微分方程初值問(wèn)題和初邊值問(wèn)題的自適應(yīng)計(jì)算已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的理論及其應(yīng)用.但是方程的最優(yōu)控制問(wèn)題方面，自適應(yīng)算法的計(jì)算還處于初級(jí)階段，僅有部分類(lèi)型的控制問(wèn)題有相關(guān)結(jié)論。例如，對(duì)于控制不受限的問(wèn)題目標(biāo)定向加權(quán)對(duì)偶方法在文獻(xiàn)[9]中給出了分析；控制受限下的控制問(wèn)題其殘量類(lèi)型的后驗(yàn)誤差估計(jì)可見(jiàn)文獻(xiàn)[41，60，61，70]等.一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于受約束的控制問(wèn)題而言，控制變量和狀態(tài)變量具有不同的正則性，通常是控制變

13、量的正則性較差（最多屬于空間H1（Ω））此外，它們各自奇異性的位置也有所不同.因此傳統(tǒng)的在同一套網(wǎng)格下進(jìn)行計(jì)算的效率較低.從而，自適應(yīng)多套網(wǎng)格即對(duì)不同的變量根據(jù)其相應(yīng)的指示子來(lái)調(diào)整各自的網(wǎng)格，變得非常有必要.同時(shí)這也使得多套網(wǎng)格下最優(yōu)控制問(wèn)題的自適應(yīng)計(jì)算可以更有效的進(jìn)行.關(guān)于此方法和思想的應(yīng)用可見(jiàn)文獻(xiàn)[48.51]等.但是，對(duì)于發(fā)展方程最優(yōu)控制問(wèn)題而言其自適應(yīng)數(shù)值計(jì)算要復(fù)雜得多，相關(guān)內(nèi)容可見(jiàn)[53，63]等. 在導(dǎo)師芮洪興教授的

14、精心指導(dǎo)下，本文作者對(duì)發(fā)展型對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題做了部分研究工作.基于劉文斌教授等人在拋物方程最優(yōu)控制問(wèn)題方面的工作，結(jié)合所熟知的特征有限元方法，我們討論了兩類(lèi)不同類(lèi)型的時(shí)變對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題.從理論上分析了算法的收斂性，并得到了先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì).理論分析和數(shù)值試驗(yàn)都表明我們?cè)诒疚闹兴岬乃惴ㄊ怯行У?、可靠的。全文共分三章，下面幾段將?jiǎn)要介紹一下各章的主要內(nèi)容. 第一章，對(duì)線性對(duì)流占優(yōu)對(duì)流擴(kuò)散方程的二次最優(yōu)控制問(wèn)題提

15、出了一類(lèi)特征有限元逼近格式.其中在第一部分我們著重討論了控制變量單邊受限的情形，這里狀態(tài)和伴隨狀態(tài)變量考慮用分片線性連續(xù)函數(shù)來(lái)離散，而控制變量則由分片常數(shù)來(lái)逼近.得到了控制和狀態(tài)逼近的最優(yōu)模誤差估計(jì)即（）（hU+h+k，其中hU和h分別代表控制和狀態(tài)變量的空間網(wǎng)格尺寸，k表示時(shí)間步長(zhǎng).這一部分的主要結(jié)果發(fā)表在《Journal of Scientific computing》（見(jiàn)[32]）在本章的后半部分，我們則考慮了控制變量雙邊受限的情

16、況并且推廣到用分片線性間斷元或分片常數(shù)元來(lái)逼近它.同樣我們得到了控制和狀態(tài)逼近的先驗(yàn)估計(jì)即（）（），其中m=0或1.這一部分的主要結(jié)果已經(jīng)投遞刊物（見(jiàn)[33]）本章的最后我們給出了數(shù)值算例，對(duì)兩種情形的收斂性給出了有效驗(yàn)證. 第二章，我們把主要精力放在了研究對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題的后驗(yàn)誤差估計(jì)方面，這對(duì)于設(shè)計(jì)有效的自適應(yīng)特征有限元算法意義深遠(yuǎn).通過(guò)采用對(duì)偶估計(jì)的技巧，我們得到了最優(yōu)控制問(wèn)題的L2模后驗(yàn)誤差估計(jì)子.這里需要指出的

17、是，此后驗(yàn)估計(jì)子有兩大主要部分構(gòu)成：一部分即η1來(lái)源于對(duì)變分不等式（2.3.9）的逼近，另外一部分ηi，i=2，…，13是由對(duì)狀態(tài)和伴隨狀態(tài)方程的逼近得來(lái)的。特別地，η6和η11是我們的特征有限元格式本身所產(chǎn)生的。很明顯單獨(dú)用狀態(tài)或控制逼近誤差本身都不足以有效地求解整個(gè)控制問(wèn)題，在第二章中對(duì)后驗(yàn)誤差估計(jì)子我們會(huì)給出詳細(xì)闡述. 第三章，對(duì)奇異擾動(dòng)的時(shí)變對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題，我們提出了另一類(lèi)特征有限元（CFE）算法來(lái)處理速度場(chǎng)非