最優(yōu)控制問題RT1混合有限元方法.pdf

1、最優(yōu)控制問題存在于現(xiàn)實(shí)生活中的各個方面,如溫度控制問題、電磁場控制問題、空氣污染控制問題、生物工程中細(xì)菌數(shù)量的控制問題和電氣化學(xué)機(jī)器設(shè)計問題等等.有效的數(shù)值方法是將這些最優(yōu)控制問題成功地應(yīng)用于實(shí)際領(lǐng)域中去的關(guān)鍵.近些年,已經(jīng)形成多種高效的數(shù)值計算方法來求解最優(yōu)控制問題,其中有限元方法應(yīng)用最為廣泛.當(dāng)最優(yōu)控制問題的目標(biāo)泛函中包含標(biāo)量函數(shù)的梯度時,混合有限元方法便是一種最為有效的數(shù)值方法.本文中,作者將研究橢圓最優(yōu)控制問題RT1混合有限元解

2、的最大模和超收斂誤差估計,以及拋物最優(yōu)控制問題的先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計.
　　本文可分為三個部分.第一部分,本文研究了線性橢圓型最優(yōu)控制問題.首先,利用變分原理推出最優(yōu)控制問題的最優(yōu)性條件,即一個由狀態(tài)方程、對偶狀態(tài)方程和一個變分不等式三者組成的系統(tǒng);利用RT1混合有限元逼近狀態(tài)和對偶狀態(tài)變量,用分片線性不連續(xù)函數(shù)來離散控制變量,從而得到最優(yōu)控制問題的混合有限元逼近格式.針對一類控制積分受限最優(yōu)控制問題,采用陳煥貞和姜子文給出的格林函

3、數(shù)以及對偶論證方法,得到最優(yōu)控制問題混合有限元解的最優(yōu)L∞先驗(yàn)誤差估計.對于障礙型最優(yōu)控制問題,采用C.Meyer和A.Rosch給出的基函數(shù)分析方法得到控制變量的L∞誤差估計.最后,給出一些數(shù)值算例驗(yàn)證得到的理論結(jié)果.
　　第二部分,研究半線性橢圓最優(yōu)控制問題.利用RT1混合有限元離散狀態(tài)與對偶狀態(tài)變量,用分片線性函數(shù)或分片常數(shù)函數(shù)來逼近控制變量.針對一類控制積分受限最優(yōu)控制問題,當(dāng)控制變量采用分片常數(shù)函數(shù)逼近時,通過后處理技巧

4、,得到一個L2范數(shù)意義下的全局超收斂結(jié)果;當(dāng)控制變量采用分片線性函數(shù)逼近時,得到最優(yōu)控制問題混合有限元解的L∞誤差估計.最后,給出一些數(shù)值算例驗(yàn)證得到的理論結(jié)果.
　　第三部分,分析拋物最優(yōu)控制問題.這里狀態(tài)與對偶狀態(tài)變量采用RT1混合有限元離散,控制變量不離散或采用分片線性函數(shù)離散.首先,采用M.Hinze提出來的變分離散方法,不離散控制變量,通過對偶狀態(tài)數(shù)值解的一個投影得到控制變量數(shù)值解,得到最優(yōu)控制問題全離散格式的收斂性.接