賦值在Lp-Brunn-Minkowski理論研究中的應(yīng)用.pdf

1、本學(xué)位論文隸屬于Lp-Brunn-Minkowski理論研究領(lǐng)域，該領(lǐng)域是最近十多年來在國際上發(fā)展非常迅速而重要的幾何學(xué)分支之一.本文致力于研究賦值在Lp-BrunnMinkowski理論研究中的應(yīng)用，尤其是在Busemann-Petty型問題和Shephard型問題中的應(yīng)用．
　　 本文的研究工作可以分為三個方面:
　　 類似于凸體的n-1維截面函數(shù)是對數(shù)凹函數(shù)，我們證明了凸體的任意的n-j維截面函數(shù)是對數(shù)凹函數(shù).然后

2、利用低維截面函數(shù)的對數(shù)凹性推廣了Busemann不等式．作為應(yīng)用，我們引進了一種新的廣義截面體，并建立了關(guān)于這種廣義截面體的對偶Brunn-Minkowski不等式．
　　 在Lp-Brunn-Minkowski理論中，我們給出了Lp對偶仿射表面積(?)-p的概念，并系統(tǒng)地研究了它的性質(zhì)．同時建立了關(guān)于它的仿射等周不等式，Blaschke-Santaló不等式和Brunn-Minkowski不等式．Ludwig將仿射表面積的生成

3、函數(shù)由凹函數(shù)延伸到凸函數(shù)，基于這種思想，我們引進了Lp對偶仿射表面積(?)p的定義．對應(yīng)于Lp對偶仿射表面積(?)-p的上半連續(xù)性，Lp對偶仿射表面積(?)p是下半連續(xù)的．同時將仿射等周不等式和Blaschke-Santaló不等式推廣到了Lp對偶仿射表面積(?)p，并建立了L對偶仿射表面積(?)p的對偶Brunn-Minkowski不等式.
　　 眾所周知，截面體算子和投影體算子分別定義了一種SO(n)同變的，n-1正齊次的，

4、連續(xù)的Minkoski賦值和徑向賦值．在此基礎(chǔ)上，Schuster引入了BlaschkeMinkowski同態(tài)和徑向Blaschke-Minkowski同態(tài)，并分別研究了關(guān)于他們的Shephard型問題和Busemann-Petty型問題．本文引入了兩種更一般的賦值： Lp-BlaschkeMinkowski同態(tài)和Lp徑向Minkowski同態(tài).利用球面調(diào)和、緊群上的卷積以及Legendre多項式的方法，我們完全刻畫了Lp-Blasch