L-,p--Brunn-Minkowski理論研究.pdf

1、本博士論文主要研究Lp-Brunn-Minkowski理論中的一些極值問題.本文首先介紹了所屬學(xué)科的發(fā)展歷程、研究現(xiàn)狀和主要的代表人物以及作者的主要工作.接著研究了關(guān)于廣義的投影體、相交體、質(zhì)心體的單調(diào)性，然后重點(diǎn)研究了擬Lp-相交體，對(duì)偶Lp-John橢球和迷向Lp-表面積測(cè)度等. 作者取得的主要研究成果是：(1)關(guān)于投影體、相交體、質(zhì)心體的單調(diào)性問題是凸體幾何中最基本而又相當(dāng)重要的問題，其中關(guān)于投影體和相交體的單調(diào)性問題分別

2、是著名的Shephard問題和Busemann-Petty問題.我們將原有的結(jié)果推廣到廣義的投影體、相交體、質(zhì)心體上，其中廣義質(zhì)心體是在本文中首次定義. (2)給出了擬Lp-相交體的定義并得到了擬Lp-Busemann相交不等式，得到了關(guān)于擬Lp-相交體的對(duì)偶Brunn-Minkowski不等式，考慮了它的單調(diào)性，推廣到混合的擬Lp-相交體后得到了關(guān)于混合擬Lp-相交體的Aleksandrov-Fenchel不等式.并利用Ale

3、ksandrov-Fenchel不等式給出了一個(gè)唯一性定理. (3)對(duì)于p≥1，獲得了一族對(duì)偶Lp-John橢球EpK，這族橢球包括了兩個(gè)在凸體幾何與局部理論中都相當(dāng)重要的橢球：L(o)wner橢球JK和Legendre橢球Г2K，事實(shí)上，有E∞K=JK,E2K=Г2K.并且證明了對(duì)偶Lp-John橢球與Lp-質(zhì)心體之間存在著John包含關(guān)系。這個(gè)結(jié)果與Lutwak，Yang和Zhang的《Lp-John橢球》形成了一種完美的對(duì)

4、稱. (4)應(yīng)用Lp-John橢球及對(duì)偶Lp-John橢球的性質(zhì)得到了一系列關(guān)于Lp-投影體、Lp-質(zhì)心體的體積不等式，如Lp-Petty投影不等式和Lp-質(zhì)心體不等式的逆向形式的不完全精確形式，并且得到了Lp-John橢球的另一種形式的包含關(guān)系，另外我們利用John基給出了Lp-型Loomis-Whitney不等式以及Pythagorean不等式. (5)研究了迷向Lp-表面積測(cè)度，證明了相同體積凸體的Lp-表面積在仿