多元Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題研究.pdf

1、1781年,Monge,G.提出了一個(gè)最優(yōu)運(yùn)輸問題（即Monge問題）,考慮把一定量的沙子從一地運(yùn)到另一地,找到使總的運(yùn)輸費(fèi)用最小的最優(yōu)途徑（數(shù)學(xué)上又稱為最優(yōu)映射）。1942年Kantorovich,L.V.也對(duì)此類運(yùn)輸問題提出了數(shù)學(xué)構(gòu)造。他取出發(fā)點(diǎn)和終點(diǎn)的容積分別是度量空間上給定的兩個(gè)概率測度,考慮如何找到以這兩個(gè)概率測度為邊際的聯(lián)合概率測度（又稱為最優(yōu)運(yùn)輸計(jì)劃）,使得兩者之間的運(yùn)輸費(fèi)用最小。具體構(gòu)造為:給定Rn上的概率測度P,Q,一

2、個(gè)以P,Q為邊際分布的2n維隨機(jī)向量（X,Y）稱為P,Q的耦合;給定一個(gè)費(fèi)用函數(shù)c（·,·）,我們要對(duì)所有的耦合最小化期望費(fèi)用E[c（X,Y）]。因此人們又把上述運(yùn)輸問題統(tǒng)稱為Mong-Kantorovich運(yùn)輸問題。在R1,上述運(yùn)輸問題早已完全解決,期望費(fèi)用最小值為∫01c(F-1（t）－G-1（t）)dt,其中F,G分別是P,Q的分布函數(shù),F-1,G-1分別是F,G的右逆。但多元情形很久沒有突破性進(jìn)展。直到1991年Brenier,

3、Y.用凸函數(shù)的梯度刻畫了最優(yōu)映射,從而將單位費(fèi)用c（x,y）=|x-y|2（|x-y|表示x,y之間的歐幾里得距離,下同）時(shí)Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題與經(jīng)典的偏微分方程—Monge-Amp（?）re方程聯(lián)系起來了。他的這篇文章建立了運(yùn)輸問題與偏微分方程、流體力學(xué)、幾何學(xué)、概率論與泛函分析的美妙聯(lián)系。從此,Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題變得極其流行,因?yàn)樵S多不同領(lǐng)域的學(xué)者意識(shí)到這個(gè)主題與他們的領(lǐng)域聯(lián)系非常密切,

4、尤其引起了一大批偏微分方程方面專家學(xué)者的濃厚興趣,如Evans,Trudinger分別得到在對(duì)已知測度的一定假設(shè)條件下,最優(yōu)映射所滿足的偏微分方程,其他大部分學(xué)者如Caffarelli等則用Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題來研究一些經(jīng)典的偏微分方程的解的有關(guān)性質(zhì)。然而,他們的證明方法都比較復(fù)雜,所得到的偏微分方程也不太容易處理和實(shí)際應(yīng)用。
　　本文考慮當(dāng)單位費(fèi)用函數(shù)c（x,y）=|x-y|p（p≥2）時(shí)的多元Monge-

5、Kantorovich運(yùn)輸問題（本文中簡稱為p-Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題）。我們從概率論的角度,結(jié)合變分法,將多元p-Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題轉(zhuǎn)化成求解偏微分方程或偏微分方程組問題。特別地將二元2-Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題（本文中也簡稱為平方Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題）轉(zhuǎn)化為一個(gè)Dirichlet邊界的擬線性橢圓方程其中A（·,·）>0,B（·,·）&a

6、mp;gt;0,C是由初始分布決定的函數(shù),H是未知的分布函數(shù),而且我們得到了最優(yōu)映射的顯式表達(dá)式。同時(shí)我們討論了離散情形,這樣也就得到了Monge-Amp（?）re方程的一個(gè)數(shù)值計(jì)算方法。最后我們分析了p-Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題（p>2）。顯然此方法也適用于一般的凸單位費(fèi)用函數(shù)。
　　本文將分成如下幾部分進(jìn)行闡述。第一部分,回顧Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題的現(xiàn)有主要結(jié)果,同時(shí)給出本文

7、的主要研究思路。第二部分,從概率論的角度,利用變分法于多元平方Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題的連續(xù)情形。二元時(shí)我們得到一個(gè)Dirichlet邊界的擬線性橢圓方程,更高維時(shí)得到一個(gè)偏微分方程組。同時(shí)我們得到了最優(yōu)映射的顯式表達(dá)式。第三部分,考慮格子點(diǎn)空間上的最優(yōu)耦合,給出多元離散平方Monge-Kantorovich運(yùn)輸問題最優(yōu)解的刻畫,從而也就得到了Monge-Amp（?）re方程的一個(gè)數(shù)值計(jì)算方法。第四部分,進(jìn)一步考慮p-