在算術級數(shù)中具有算術函數(shù)系數(shù)的素變量指數(shù)和.pdf

1、指數(shù)和是數(shù)論研究的核心課題，有重要的理論意義和應用價值.設集合M代表所有函數(shù)值為復數(shù)的積性函數(shù)的集合，M1(c)M且對(V)f∈M1，有性質(zhì)|f(n)|≤1，n∈N.令e（α）=e2πiα，其中α代表無理數(shù).令M'是算術函數(shù)的集合，其中函數(shù)符合一定的條件，例如M'=M1.對于f∈M'或f為某一特殊的算術函數(shù)，本文主要研究形如1/E(x)∑n≤xn∈Ef（n）e(nα)
　　指數(shù)和的漸進行為，其中E是一個整數(shù)集合并且E(x)=∑n≤

2、xn∈E1.
　　1954年，Vinogradov[25]的一個非常著名的結果是如果Q（n）=αknk+αk-1nk-1+…+α1n是一個多項式，αk，…，α1都是實數(shù)且最少有一個是無理數(shù).那么
　　limx→∝1/π(x)∑e(Q(p))=0.
　　1974年，Daboussi和Delange[6]證明了對于任意給定的無理數(shù)α，f∈M1下式成立limx→∞ supf∈M11/x∑n≤xf(n)e(nα)=0.x

3、>　　后來，Delange擴大了此結果的函數(shù)類，對于f∈L2，也就是對任意的f∈M，滿足條件1/x∑n≤x|f(n)|2=O(1)，結果是成立的.Indlekofer又將f擴展到更大的函數(shù)類里去，對f∈L*，即對任意的f∈M，滿足limy→0supx1/x∑|f(n)|≥yn≤x|f(n)|=0，結果仍然成立.
　　1986年，I.Kátai[9]證明了suo/f∈M1|1/x∑n≤xf(n)e(Q(n))|→0,x→∞.

4、　　2012年，J.M.De Koninck和I.Kátai[17]定義了一種新的算術函數(shù)l(n):=g1（F1（n））…gs(Fs(n))，其中F1(n)，…，F(xiàn)s（n）是整系數(shù)多項式，并且只有當x＞0的時候，F(xiàn)i(x)＞0，i=1，2，...，s.gi(i=1，2，…，s)都是復值可乘函數(shù)，并且滿足特殊條件.令Sf(x):=∑n≤xf(n)l(n)e(Q(n))，得到了兩個新的
　　結果:suof∈M1|Sf(x)|/x→0,

5、x→∞,|1/li(x)∑p≤xl(p)e(Q(p))|→0,x∞.
　　本文的主要工作是將上述素變量指數(shù)和推廣到算術級數(shù)中素變量指數(shù)和中去，即證明
　　定理0.1對于固定的k，l，滿足（k，l）=1，當x→∞時，有下式成立11/li(x)|∑p≤xp≡l(mod k)l(p)e(Q(p))|→0.
　　其中l(wèi)（n）:=g1(F1(n))…gs（Fs（n）），F(xiàn)1(x），…，F(xiàn)s(x）∈Z[x]，并且只有當x＞0時，F(xiàn)

6、1(x），…，F(xiàn)s(x）＞0.對于i=1，2，…，s，gi都是復值的可乘函數(shù)，并且滿足特殊條件（在第三章中介紹）.
　　本文主要使用Turán-Kubilius不等式[24]的經(jīng)典方法來證明我們的結論.定理的證明用到了G.Tenenbaum[24]第三章的內(nèi)容和J.M.De Koninck與I.Kátai[17]的相關引理以及初等數(shù)論和解析數(shù)論的知識.本文共分三個章節(jié)，第一章是導言部分，主要介紹問題的研究背景和目前的研究成果;第二