偏序集分拆函數(shù)的計(jì)算及其算術(shù)性質(zhì).pdf

1、偏序集分拆作為經(jīng)典分拆在偏序集上的推廣，是計(jì)數(shù)組合學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象。著名組合數(shù)學(xué)家Stanley于1972年首先引入偏序集分拆這一概念，從而統(tǒng)一了許多經(jīng)典的組合結(jié)構(gòu)，包括分拆、有序分拆、多重分拆、平面分拆等。近四十年來(lái)，偏序集分拆的組合性質(zhì)和算術(shù)性質(zhì)引起了人們極大的興趣，已得到了一系列豐富的研究成果。偏序集分拆在對(duì)稱函數(shù)、表示論、丟番圖方程組和不等式組等問(wèn)題的研究中有非常廣泛的應(yīng)用。
　　本文主要研究偏序集分拆的計(jì)數(shù)函數(shù)，即偏

2、序集分拆函數(shù)，主要結(jié)果包括:1.我們引入偏序集上的兩類變換和一類運(yùn)算，以此為工具給出一種求偏序集分拆生成函數(shù)的遞歸方法。2.利用模形式理論，我們研究了偏序集分拆生成函數(shù)的算術(shù)性質(zhì)，得到一系列裂鉆分拆和多重分拆滿足的拉馬努金型同余式。
　　本論文結(jié)構(gòu)如下。第一章簡(jiǎn)要介紹偏序集分拆的基本概念和相關(guān)背景知識(shí)，包括幾類經(jīng)典的求偏序集分拆生成函數(shù)的方法，經(jīng)典分拆函數(shù)及多重分拆函數(shù)的拉馬努金型同余式。
　　第二章給出一種求偏序集分拆生成

3、函數(shù)的遞歸方法。我們定義了偏序集上的兩類變換:刪元和部分線性擴(kuò)展，并分別給出了它們作用前后的偏序集上分拆的生成函數(shù)所滿足的關(guān)系。我們將證明通過(guò)刪元和部分線性擴(kuò)展，任意偏序集均可變換為一個(gè)空偏序集。事實(shí)上，這一變換過(guò)程給出了求偏序集分拆生成函數(shù)的遞歸方法。另外，我們將偏序集上的直和及序和推廣為部分偏序和，很多著名的偏序集都可由簡(jiǎn)單偏序集的部分偏序和生成。作為應(yīng)用，我們考慮偏序集P與其自身的n次部分偏序和Pn，文中構(gòu)造性地證明了其分拆的生成

4、函數(shù)序列{fPn(x)｝n≥1滿足一組遞推關(guān)系式。特別地，我們解決了Souza等人利用“五項(xiàng)準(zhǔn)則”方法無(wú)法處理的3行偏序集的分拆生成函數(shù)問(wèn)題，并得到了基于重立方體偏序集的偏序集分拆生成函數(shù)。
　　第三章主要研究裂鉆分拆函數(shù)及多重分拆函數(shù)的算術(shù)性質(zhì)。通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)摩?商，我們利用Sturm定理得到了6個(gè)2裂鉆分拆函數(shù)的拉馬努金型同余式。關(guān)于n的r重分拆函數(shù)pr(n)的算術(shù)性質(zhì)，我們證明了序列pr((mkn+r)/24)的生成函數(shù)模m

5、k后在空間Sγ,λ中，其中Sγ,λ是由復(fù)值函數(shù)η(24z)γφ(24z)張成的空間，此處η(z)是η-函數(shù)，φ(z)是Mλ(SL2(Z))中的一個(gè)整模形式。利用該結(jié)果，我們得到了一系列著名的拉馬努金型同余式，如經(jīng)典分拆函數(shù)p(n)模5，7，11的拉馬努金同余式，Gandhi關(guān)于p2(n)模5和p8(n)模11的同余式，同時(shí)我們也得到了很多新的關(guān)于pr(n)的拉馬努金型同余式。利用空間Sγ，λ是Hecke算子T(e)2的不變子空間這一性質(zhì)