Pointed Hopf代數(shù)的表示.pdf

1、量子化包絡(luò)代數(shù)及其有限維商小量子群是一類非常重要的pointed Hopf代數(shù)。對其的研究極大地推動了整個Hopf代數(shù)理論的發(fā)展。最近，利用提升方法，Andruskiewitsch與Schneider對余根為交換群代數(shù)的(有限維)pointed Hopf代數(shù)進(jìn)行了分類，發(fā)現(xiàn)了許多新的Hopf代數(shù)的例子。這些Hopf代數(shù)可以看作是量子化包絡(luò)代數(shù)及小量子群自然地推廣。進(jìn)一步地研究這些Hopf代數(shù)的性質(zhì)和表示就成為人們非常關(guān)注且急于解決的一個

2、問題。本論文討論了三類pointed Hopf代數(shù)：Taft代數(shù)的量子偶；半量子群；對應(yīng)A2×A2型Caftan矩陣的pointed Hopf代數(shù)。這些Hopf代數(shù)都包含在Andruskiewitsch與Schneider討論的Hopf代數(shù)中。我們的許多結(jié)果也可推廣到更一般的類型，從而為研究一般的余根為交換群代數(shù)的pointed Hopf代數(shù)上的表示提供了思路與方法。 首先，給定一個Taft代數(shù)An，Chen在文獻(xiàn)中刻畫了它的量

3、子偶Hn(p，q)的結(jié)構(gòu)并給出Hn(p，q)上所有有限維表示。在本文第二章中我們討論了Hn(p，q)上的無限維表示，給出了所有不可分解代數(shù)緊模，從而在初等等價意義下對Hn(p，q)上的表示進(jìn)行了分類。 其次，對一個半單李代數(shù)g，我們?nèi)×孔踊j(luò)代數(shù)Uq(g)的Borel子代數(shù)為半量子群U≥O。在第二章中我們證明了U≥O不是擬余交換的，因此其左模范疇不是一個辮子monoidal范疇．當(dāng)q是單位根時，我們給出了U≥O的一個有限維商H

4、opf代數(shù)U≥O是擬余交換的充要條件。存U≥O的權(quán)模范疇中，我們描述了所有單對象和投射對象及其張量積分解。利用Radford的方法，我們給出了所有單Yetter-Drinfeld權(quán)模，這等價于給出了量子偶D(U≥O)上的所有單權(quán)模，從而驗證了Hu和Zhang給出的關(guān)于D(U≥O)與Uq(g)的表示之間關(guān)系的定理。這也為進(jìn)一步研究一般情況(即Andruskiewitsch與Schneider構(gòu)造的那些扭等價于D(U≥O)的pointed

5、Hopf代數(shù))的表示提供了一種思路。 然后，從Andruskiewitsch與Schneider給出的分類結(jié)果，我們選擇了對應(yīng)Cartan矩陣為A2×A2型的pointed Hopf代數(shù)進(jìn)行討論。根據(jù)linking參數(shù)λ不同取法，有三種情況，對應(yīng)的Hopf代數(shù)分別記為U(D，λ1)，U(D，λ2)，U(D，λ3)。其中U(D，λ1)是個半量子群而U(D，λ3)則是sI(3)的量子化包絡(luò)代數(shù)。因此我們在第四章中儀對U(D，λ2)展

6、開討論。我們的結(jié)果表明這類Hopf代數(shù)介于第一和第三種情況之間，其表示與半量子群和量子化包絡(luò)代數(shù)的表示有著緊密聯(lián)系。在q是單位根的情形，我們討論了其有限維商Hopf代數(shù)。特別地，我們得到一個計算冪等元的方程組，通過解方程組給出了正則模的不可分解投射模分解，這個方法對于討論U(sI(2))的小量子群也同樣適應(yīng)。在論文的最后部分，我們討論了Hopf代數(shù)U(D，λ)與其某些子Hopf代數(shù)之間的聯(lián)系．我們在U(D，λ)的模范疇與這些子Hopf代