Gorenstein導(dǎo)出范疇及相關(guān)研究.pdf

1、過(guò)去三十五年，三角范疇在理論和應(yīng)用上的重要性得以重新認(rèn)識(shí)；過(guò)去四十年，代數(shù)表示論系統(tǒng)地發(fā)展出 唐代計(jì)量和表示的方法，并與其它分支建立了廣泛聯(lián)系；自1965年，相對(duì)同調(diào)代數(shù)，尤其是Gorenstein同調(diào)代數(shù)，積累了大量文獻(xiàn)。這是一篇利用三角范疇理論和代數(shù)表示論方法研究Gorenstein同調(diào)代數(shù)的博士學(xué)位論文。本文主要結(jié)果如下。 一.引進(jìn)并研究Gorenstein導(dǎo)出范疇和Gorenstein奇點(diǎn)范疇。這是Goren-stein

2、同調(diào)代數(shù)的自然發(fā)展。 1.給出了Gorenstein導(dǎo)出范疇和導(dǎo)出范疇之間的關(guān)系； 2.證明了Gorenstein投射模的有界同倫范疇是Gorenstein導(dǎo)出范疇的三角子范疇；證明了Gorenstein環(huán)和域上的有限維代數(shù)的有界Gorenstein導(dǎo)出范疇三角等價(jià)于Gorenstein投射模的只有有限個(gè)上同調(diào)群的上有界復(fù)形的同倫范疇； 3.將Gorenstein導(dǎo)出函子解釋成有界Gorenstein導(dǎo)出范疇上的

3、Hom函子； 4.證明了環(huán)是Gorenstein環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)它的Gorenstein奇點(diǎn)范疇是零；一般地，若環(huán)不是Gorenstein環(huán)，我們將一個(gè)Frobenius范疇的穩(wěn)定范疇嵌入到它的Gorenstein奇點(diǎn)范疇中，從而度量它離Gorenstein性質(zhì)有多遠(yuǎn)。 上述2和3中工作是將導(dǎo)出范疇中的結(jié)論發(fā)展到Gorenstein導(dǎo)出范疇；而1和4中工作是全新的。 二.利用代數(shù)表示論中上三角代數(shù)，特別是單點(diǎn)擴(kuò)張的技巧

4、，具體構(gòu)造了Gorenstein投射模：包括描述了強(qiáng)完備A-投射分解的形式；特別地，單點(diǎn)擴(kuò)張情形下強(qiáng)完備投射分解的具體刻畫(huà)。這種刻畫(huà)確定了單點(diǎn)擴(kuò)張前后強(qiáng)Gorenstein投射模之間的關(guān)系：因Gorenstein投射模是強(qiáng)Gorenstein投射模的直和項(xiàng)，從而得到Gorenstein投射模的歸納構(gòu)造和豐富例子。 三.注意到，Gorenstein性已被推廣到帶有三角真類ζ的三角范疇。這篇博士學(xué)位論文第三部分在這方面做出若干新結(jié)果

5、：利用函子ζxtgP(ζ)(-，-)，gP(ζ)-分解和相對(duì)于gP(ζ)的Schanuel類，給出對(duì)象的ζ-Gorenstein投射維數(shù)的三個(gè)等價(jià)定義；引入ζ-tilting類的概念，給出辨別ζ-Gorenstein三角范疇的一個(gè)充要條件；引進(jìn)強(qiáng)ζ-Gorenstein對(duì)象的概念；證明了Δ-Gorenstein投射對(duì)象必是某個(gè)強(qiáng)△-Gorenstein投射對(duì)象的直和項(xiàng)。從而刻畫(huà)了△-Gorenstein投射對(duì)象。 四.經(jīng)典Aus