Banach空間中微分系統(tǒng)的正解.pdf

1、奇異邊值問題(簡稱SBVP)起源于各種應(yīng)用學(xué)科，例如：核物理、氣體動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、邊界層理論以及非線性光學(xué)等，并且它一直是數(shù)學(xué)工作者和其它科技工作者所關(guān)心的重要問題之一.本章主要利用非線性泛函分析的拓?fù)涠确椒ㄑ芯课⒎址匠探M邊值問題，其中包括奇異邊值問題.有關(guān)奇異微分方程邊值問題解的存在性，正解的存在性、唯一性近二十年來得到了廣泛的研究([9]-[20]).在此基礎(chǔ)上，本文將更進(jìn)一步深入研究微分方程組邊值問題. 第一章利用M(o

2、)nch不動(dòng)點(diǎn)理論，研究了Banach空間中一類二階非線性積分—微分方程組兩點(diǎn)邊值問題{-u″=f(t，u，v，Tu)；{-v″=g(t，v，Tv)；(1.2.1){a1u(0)-b1u′(0)=θ，c1u(1)+d1u′(1)=θ；{a2v(0)-b2v′(0)=θ，c2v(1)+d2v′(1)=θ.正解的存在性，其中t∈J=[0，1]，ai，bi，ci,di∈R+，f，g∈C[J×P×P×P，P]，Tu(t)=∫t0K(t，s)u(

3、s)ds，K∈C[D，R+]，D={(t，s)：0≤s≤t≤1}，R+=[0，+∞)，i=1，2.我們給出了適當(dāng)?shù)臈l件(H1.1)-(H1.3)，見文7-8頁.主要結(jié)論如下：定理1.2.1若(H1.1)-(H1.3)成立，則系統(tǒng)(1.2.1)至少存在一個(gè)正解(u，v)∈C2[J,E]×C2[J,E]，滿足當(dāng)t∈I時(shí)，u(t)≥u0，v(t)≥v0.最后給出無窮維空間中的例子說明我們的條件是合理的. 為了獲得系統(tǒng)(1.2.1)多個(gè)

4、正解的存在性，我們?cè)诘诙吕昧瞬粍?dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，并給出了適當(dāng)?shù)臈l件(H2.1)-(H2.5)，見文15-16頁.其主要結(jié)論如下：定理2.2.1若(H2.1)-(H2.4)成立，則系統(tǒng)(1.2.1)至少存在兩個(gè)正解(u1，v1)，(u2，v2)∈C2[J,E]×C2[J,E]，滿足當(dāng)t∈I時(shí)，u1(t)＞＞u0，v1(t)＞＞v0. 定理2.2.2若(H2.1)-(H2.2)及(H2.5)成立，則系統(tǒng)(1.2.1)至少存在一個(gè)正解

5、(u，v)∈C2[J,E]×C2[J,E],滿足當(dāng)t∈I時(shí)，u(t)≥u0，v(t)≥v0. 最后給出有限維和無限維空間中的例子來說明所給出條件的合理性. 第三章利用錐拉伸和錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理研究了一類非線性奇異微分方程組邊值問題{u(4)=f(t，u，v)；{-v″=g(t,u,v);(3.2.1){u(0)=u(1)=u″(0)=u″(1)=0;{v(0)=v(1)=0.正解存在的充分必要條件，其中t∈(0，1)，f，

6、g∈C[(0，1)×[0，∞)×[0，∞)，[0，∞)]，并給出了適當(dāng)?shù)臈l件(H3.1)-(H3.5)，見文25-26頁.其主要結(jié)論如下： 定理3.2.1設(shè)(H3.3)-(H3.5)成立，則SBVP(3.2.1)存在C2[0，1]×C[0,1]正解(u，v)當(dāng)且僅當(dāng)(H3.1)成立. 定理3.2.2設(shè)(H3.3)-(H3.5)成立，則SBVP(3.2.1)存在C3[0，1]×C1[0，1]正解(u，v)當(dāng)且僅當(dāng)(H3.2

7、)成立. 最后一章利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，研究了P-laplacian算子型奇異微分方程組邊值問題{(ψp(u'))'(t)+λa(t)f(t，u(t)，v(t))=0；{(ψq(v'))'(t)+λb(t)g(t，u(t)，v(t))=0；(4.1.1){u(0)-B0(u'(0))=u(1)+B0(u'(1))=0;{v(0)-B1(v'(0))=v(1)+B1(v'(1))=0.正解的存在性，其中t∈(0，1)，ψp(x)=｜

8、χ｜p-2χ，ψq(χ)=｜χ｜q-2χ，p，q＞1，λ＞0，a，b∈C[(0，1)，(0，+∞)]，f，g∈C[(0，1)×[0，∞)×[0，∞)，(0，∞)]，并給出了適當(dāng)?shù)臈l件(H4.1)-(H4.5)，見文39頁.其主要結(jié)論如下： 定理4.2.1設(shè)(H4.1)-(H4.5)成立，則對(duì)任意的r＞0，存在-λ=-λ(r)＞0使得當(dāng)λ∈(0，-λ(r))時(shí),SBVP(4.1.1)至少有兩個(gè)正解(u1，v1)和(u2，v2)且滿