Banach空間中微分方程解的存在性與可控性.pdf

1、Banach空間中微分方程理論是非線性泛函分析的一個重要研究分支，近年來已被廣泛應用于偏微分方程、工程技術、控制理論等諸多領域中，例如，算子半群可將發(fā)展型偏微分方程轉(zhuǎn)化為抽象空間中的微分方程，從而按統(tǒng)一框架研究偏微分方程.現(xiàn)代控制理論與數(shù)學各個分支的聯(lián)系日益密切，可控性則是控制理論中的基本概念.因此在一定條件下，研究Banach空間中微分方程解的存在性與可控性具有重要的理論和現(xiàn)實意義.
　　本文主要研究Banach空間中的脈沖微分

2、方程和分數(shù)階微分方程，利用算子半群理論、非緊測度、逼近解等方法，先研究幾類泛函微分方程解的存在性，然后將其應用到微分系統(tǒng)的控制問題中.本文具體內(nèi)容由以下五個章節(jié)組成.
　　本文第一章簡要地介紹與本論文研究問題有關的背景知識及我們的主要工作.
　　第二章主要研究如下具有非局部條件的脈沖微分方程解的存在性{u'（t)=Au（t)+f（t，u（t)），t∈[0，b]，t≠ti，u(0)=g(u)，Δu(ti)=Ii（u（ti）），

3、i=1，…，s，其中A是一個線性算子（不一定有界），生成強連續(xù)半群;g是非局部項;Ii是脈沖函數(shù).
　　本章主要使用算子半群理論、非緊測度和不動點方法.在2.1節(jié)中，我們介紹一些非緊測度的概念和性質(zhì)，并證明與脈沖函數(shù)密切相關的分段連續(xù)函數(shù)空間中非緊測度的一個重要性質(zhì)（見引理2.1.5）.2.2節(jié)給出本章的主要結(jié)論，即脈沖微分方程在不同條件下適度解的存在性條件.利用我們證明的非緊測度性質(zhì)和Darbo不動點定理，我們在算子半群等度連續(xù)

4、的條件下，分別得到了緊性條件，Lipschitz條件和混合型條件下，上述非局部脈沖微分方程的適度解.2.3節(jié)中給出這些結(jié)果在偏微分方程中的應用.
　　第三章主要討論脈沖微分包含解的存在性{u'(t)∈Au(t)+F(t，u(t)), t∈[0，b]，t≠ti,u(0)=g（u），Δu(ti)=Ii（u（ti）），i=1，2，…，p，0＜t1＜t2＜…＜tp＜b，其中A∶D(A)(∈)X→X是線性算子，生成Banach空間(X，‖·

5、‖)中強連續(xù)半群T(·)，F(xiàn)是上半連續(xù)的多值函數(shù).
　　我們將第二章中單值脈沖微分方程的討論擴展到多值的情形，但方法和主要著眼點與第二章是不同的.我們在算子半群為緊半群條件下，對非局部項g非緊非Lipschitz連續(xù)的情況進行研究.主要運用逼近解的技巧和多值分析的方法.
　　3.1節(jié)中回憶多值分析的一些概念及多值映射不動點定理.3.2節(jié)，構造脈沖微分包含的逼近問題，證明逼近解解集是相對緊的,進而得到原來脈沖微分包含問題解的存

6、在性.
　　第四章致力于研究如下半線性脈沖微分系統(tǒng)的可控性{x'(t)=A(t)x(t)+f(t,x(t))+(Bu)(t), a.e.on[0,b]，Δx(ti)=x（t+i）-x（t-i）=Ii（x（ti）），i=1，…，s，x(0)+M(x)=x0，其中A(t)是一族線性算子，生成一個發(fā)展算子U:Δ=｛(t,s)∈[0,b]×[0, b]∶0≤s≤t≤b｝→L(X),這里X是Banach空間，L(X)是空間X上有界線性算子的

7、全體;B是從Banach空間V到X的有界線性算子，控制函數(shù)u(·)∈L2([0，b],V).
　　本章我們利用非緊測度的方法，在發(fā)展系統(tǒng)不具有緊性的條件下，研究脈沖微分系統(tǒng)的精確可控性.具體地，在定理4.2.1中，我們使用M(o)nch不動點定理，討論脈沖微分系統(tǒng)在發(fā)展系統(tǒng)U(t，s)等度連續(xù)條件下的可控性;在定理4.2.2中，通過構造一個新的非緊測度，我們只假設生成的發(fā)展系統(tǒng)是強連續(xù)的，既不需要緊性，甚至也不需要等度連續(xù)性，證得

8、脈沖微分系統(tǒng)的可控性,這里我們對第二章中的方法做了實質(zhì)性改進，那里需要算子半群是等度連續(xù)的.
　　第五章考慮如下半線性分數(shù)階非局部微分方程的近似可控性{Dqx(t)=Ax(t)+f(t,x(t))+Bu(t),t∈J=[0,b]，x(0)+g(x)=x0，其中x(·)取值于Hilbert空間X; Dq是q階的Caputo分數(shù)階導數(shù)，0＜q≤1;A∶D(A)(∪)X→X是X上強連續(xù)半群T(t)的無窮小生成元;控制函數(shù)u(·)取值于L