1、非線性算子的不動點(diǎn)理論在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域,特別是在各種非線性微分方程和非線性積分方程中有著廣泛的應(yīng)用.由于應(yīng)用數(shù)學(xué)中許多高階微分方程等可通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為由非線性算子定義的積分方程,目前在理論上和應(yīng)用中出現(xiàn)的大量非線性問題是缺乏緊性或連續(xù)性的,因此研究非線性算子不動點(diǎn)在抽象空間中的微分積分方程的應(yīng)用具有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.
本文第一章主要介紹了非線性算子方程理論的研究背景,并且給出了非線性泛函分析中的基本知識,包
2、括后面文章的證明中用到的一些定義、引理等.有關(guān)非線性泛函分析的其它更詳細(xì)的知識,請參見文獻(xiàn)[1-10].
第二章主要研究了Banach空間E中的半線性混合型發(fā)展方程的初值問題{u＇(t)+Au(t)=f(t，u(t),(Tu)(t),(Su)(t)), t∈J,u(0)=x0,(2.1.1)其中A∶D(A)→ E為一個(gè)閉稠定的線性算子,-A生成的E中的C0-算子半群T(t)(t≥0),J=[0,a],x0∈E和(Tu)(t
3、)=∫t0 k(t,s)u(s)ds,(Su)(t)=∫a0 h(t,s)u(s)ds,t∈J,其中k∈C(D,R),D={(t,s)∈J×J∶t≥s},且h∈C(J×J, R),R為實(shí)數(shù)集.M=sup{||T(t)||∶t∈[0,a]},k0=max{|k(t,s)|∶(t,s)∈D}.通過利用凸冪凝聚算子的不動點(diǎn)定理和函數(shù)e-λt的特殊性質(zhì),得到更廣泛條件下(2.1.1)的整體mild解和最小最大mild解.
第三章利
4、用M(o)nch不動點(diǎn)定理和Gronwall不等式,采用分段估計(jì)的辦法來討論Banach空間中的一類脈沖微分-積分方程初值問題{u＇(t)=f(t，u(t),λ1u＇(t),λ2(Tu)(t)), t∈J,t≠tk(k=1,2,3,…,m),△u|t=tk=Ik(u(tk)),(k=1,2,3,…，m),u(t0)=t0,(3.1.1)解的存在性,其中f∈C[J×E×E×E,E],J=[t0,t0+a](a＞0),t0＜t1＜…＜km＜
5、t0+a＜+∞,λ1,λ2≥0為兩個(gè)常數(shù),Ik∈C[E,E],△u|t=tk=u(tk+)-u(t-k),u(t+k),u(t-k)分別是u(t)在t=tk處的左極限和右極限,(Tu)(t)=∫t0k(t,s)u(s)ds,k(t,s)∈C[D1,R+],D1={(t,s)|t,s∈J,t≥s},k0=max{k(t,s)|(t,s)∈D1}.
第四章主要考慮Banach空間E中的非線性脈沖Volerra型積分方程x(t)
6、=h0(t)+∫t0 H(t,s,x(s),(Tx)(s),(Sx)(s))ds+∑0＜tk＜t ak(t)Ik(x(tk)),t∈J,(4.1.1)其中h0∈PC(J, E),H∈C(D1×E×E×E,E),D1={(t,s)∈J×J|0≤s≤t≤a},(Tx)(t)=∫t0k(t,s)x(s)ds,(Sx)(t)=∫a0h(t,s)x(s)ds,k∈C(D1,R),h∈C(J×J,R),Ik∈C(E,E),ak∈C(J*k,R),J