2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、本文主要考慮了如下形式的Banach空間E中二階混合型積分-微分方程的初值問題:u"(t)=f(t,u(t),u'(t),(Tu)(t),(Su)(t)),(2.1)u(0)=u0,u'(0)=u1。(2.2)其中t∈J=[0,1],f∈C[J×E×E×E×E,E],(Tu)(t)=∫0k(t,s)u(s)ds,(Su)(t)=∫10h(t,s)u(s)ds,k∈C[D,R+],h∈C[J×J,R+],D={(t,s)∈J×J:t≥s}

2、,k0=maxt∈[0,1]∫t0∫s0k(s,r)drds,h0=maxt∈[0,1]∫t0∫10h(s,r)drds,K(t)=∫t0k(t,s)ds,H(t)=∫10h(t,s)ds。在E中由錐P引進偏序。 下面我們列出主要假設(shè):(H1)存在v0,w0∈C1[J,E]∩C2[J,E],使得v0(t)≤w0(t),且v'0(t)≤w'0(t),()t∈J。并且v0(t),w0(t)分別是初值問題(2.1)-(2.2)的下解和

3、上解,即v"0≤f(t,v0,v'0,Tv0,Sv0),()t∈J,v0(0)≤u0,v'0(0)≤u1;w"0≥f(t,w0,w'0,Tw0,Sw0),()t∈J,w0(0)≥u0,w'0(0)≥u1。(H2)存在常數(shù)M≥0,M1>0,N>0使得f(t,u,v,w,z)-f(t,(-u),(-v),(-w),(-z))≥-M(u-(u))-M1(v-(-v))-N(w-(-w),()t∈J,其中v0(t)≤(-u)≤u≤w0(t),v

4、'0(t)≤(-v)≤v≤w'0(t),(Tv0)(t)≤(-w)≤w≤(Tw0)(t),(Sv0)(t)≤(-z)≤z≤(Sw0)(t)。(H3)存在常數(shù)ci≥0,(i=1,2,3,4),使α(f(J,V1,V2,V3,V4))≤c1α(V1)+c2α(V2)+c3α(V3)+c4α(V4),其中Vi()E是有界集,i=1,2,3,4,α為E中有界集的Kuratowski非緊性測度。 本文考慮下解小于等于上解的情形,首先證明了

5、一個比較定理,然后利用非緊性條件并借助單調(diào)迭代技巧和錐理論得到了初值問題(2.1)-(2.2)的最小解、最大解的存在性。其主要結(jié)果如下: 定理3.1設(shè)E是實Banach空間,P是正規(guī)錐,且條件(H1、H2、H3)滿足,假定不等式4(c1+2c2+c3k0+c4h0+2Nk0+2M+M1)<1,K(t)≤k0(t)e-M1t,NM'≤1成立。這里k0(t)∈C[J,R+],且滿足N∫t0k0(s)ds≤M/M1<1。M'=maxt

6、∈[0,1]∫t0k*(t,s)ds,而k*(t,s)=eM1(t-s)(M/N+∫tsk(t,r)dr)。則初值問題(2.1)-(2.2)在[v0,w0]中必具有最小解和最大解(-u),u*∈C2[J,E],并且由vn(t)=Fn-1(t)+∞∑i=1(-1)i∫t0Ki(t,s)Fn-1(s)ds,()t∈J;wn(t)=Gn-1(t)+∞∑i=1(-1)i∫t0Ki(t,s)Gn-1(s)ds,()t∈J。其中K1(t,s)=M(

7、t-s)+M1+N∫ts(t-r)k(r,s)dr,Ki(t,s)=∫tsK1(t,r)Ki-1(r,s)dr,()(t,s)∈D,(i=2,3…),F(xiàn)n-1(t)=u0+(M1u0+u1)t+∫t0(t-s)(f(s,vn-1(s),v'n-1(s),(Tvn-1)(s),(Svn-1)(s))-Mvn-1(s)-N(Tvn-1)(s))-M1vn-1(s)]dsGn-1(t)=u0+(M1u0+u1)t+∫t0[t-s)(f(s,w

8、n-1(s),w'n-1(s),(Twn-1)(s),(Swn-1)(s))-Mwn-1(s)-N(Twn-1)(s))-M1wn-1(s)]ds確定的迭代序列{vn(t)}和{wn(t)}在J上分別一致收斂于(-u)(t)和u*(t),且在J上有v0(t)≤v1(t)≤…≤vn(t)≤…≤(-u)(t)≤…≤u*(t)≤wn(t)≤…≤w1(t)≤w0(t),()t∈J。 定理3.2設(shè)E是實Banach空間,P是正則的,且條件

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