Banach空間中周期邊值問題的弱解.pdf

1、該文在第一章考慮Banach空間中Volterra型一階周期邊值問題u′=H(t,u,ku)(1.1.1)u(0)=u(2π)(1·1.2)其中(ku)(t)=∫<,0><'t>k(t,s)u(s)ds,(1.1.3)I=[0,2π],E為實Banach空間,H:I×E×E→E是Carathéodory函數(shù),K:I×I→R+滿足Carathéodory條件.主要假設條件為:(A<,1>)(i)α,β分別是PBVP(1.1.1),(1.1

2、.2)的下上解,并且滿足α(t)≤β(t),t∈I.(ii)α,β分別是PBVP(1.1.1),(1.1.2)的下上解,并且滿足α(t)≥β(t),t∈I.(A<,2>)H(·,u,v)關于u,v強可測,H(t,·,·)對幾乎所有t∈I連續(xù).(A<,3>)對每個A>0,存在函數(shù)hA∈L<'1>(I)使得‖H(t,u,v)‖≤h<,A>(t),a.e.t∈I,(u,v)∈E×E,并且‖ u ‖≤A,‖v‖≤A.(A<,4>)核k:I×I→

3、R<,+>滿足Carathéodory條件,即k(t,·)對每個t∈I可測,k(·,s)對幾乎所有s∈I是連續(xù)的,并且k(t,s)≤f(s),a.e.t∈I,f∈L<'1>(I).(A<,5>)(i)H(t,u,v)-H(t,ū,<'->v)≥-M(t)(u-ū)-N(t)(v-<'->v),a.e.t∈I.(1.2.5)其中α(t)≤ū≤u≤β(t),(kα)(t)≤v≤v ≤(kβ)(t),t∈I,M(t)>0,N(t)≥0,a.e

4、.t∈I,M,N∈L<'1>(I),滿足∫<,0><'2π>[M(t)+N(t)∫<,0><'t>k(t,s)ds]dt<1.(1.2.6)(ii)H(t,u,v)-H(t,ū,<'->v)≤ M(t)(u-ū)+N(t)(v-<'->v),a.e.t∈I.(1.2.7)其中β(t)≤ū≤u≤α(t),(kβ)(t)≤v≤v≤(kα)(t),t∈I,M(t)>0,N(t)≥0,a.e.t∈I,M,N∈L<'1>(I),并且滿足∫<,0>

5、<'2π>[M(t)+N(t)∫<,0><'t>k(t,s)ds]dt≤1/2.(1.2.8)主要結論:定理1.4.3設E為自反空間,P是E中正規(guī)錐,(A<,1>)(i),(A<,2>)~(A<,4>),(A<,5>)(i)成立,那么存在單調(diào)序列{α<,n>(t)},{β<,n>(t)},其中α<,0>=α(t),β<,0>=β(t),使得lim<,n→∞>α<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞>β<,n>(t)=γ(t),在I上

6、依E中范數(shù)一致成立,ρ,γ分別是PBVP(1.1.1),(1.1.2)在[α,β]上的最小,最大解.定理1.4.4設E為自反空間,P是E中正規(guī)錐,條件(A<,1>)(ii),(A<,2>)~(A<,4>),(A<,5>)(ii)成立,那么存在單調(diào)序列{βK<,n>(t)},{α<,n>(t)},其中α<,0>=α(t),β<,0>=β(t),使得lim<,n→∞>βn(t)=ρ(t),lim<,n→∞>α<,n>(t)=γ(t),在I上

7、依E中范數(shù)一致成立,ρ,γ分別是PBVP(1.1.1),(1.1.2)在[β,α]上的最小,最大解.該文第二章用迭代方法處理如下二階周期邊值問題:-u″=f(t,u),f∈C[I×E<'*>,E<'*>](2 .1.1)u(0)=u(1),u′(0)=u′(1).(2.1.2)其中I=[0,1].文[15]中為構造線性周期邊值問題解的積分表達式,給出了極強的假設條件,該文用格林函數(shù)給出解的積分表達式,并證明其唯一性,從而大大減弱、簡化了

8、假設條件.與文[15]的不同之處還有該文考慮的是上解小于等于下解的情形.主要假設:(H<,1>)v<,0>,w<,0>∈C<'2>[I,E<'*>],w<,0>(t)≤v<,0>(t),t∈I,并且-v"<,0>≤f(t,v<,0>),v<,0>(0)=v<,0>(1),v′<,0>(0)≥v′<,0>(1);-w"<,0>≥f(t,w<,0>),w<,0>(0)=w<,0>(1),w′<,0>(0)≤w′<,0>(1),在I上成立.(

9、H<,2>)f(t,u)-f(t,v)≤M(u-v),其中u≥v,u,v∈[w<,0>,v<,0>],M>0.主要結論:定理2.3.1設E<'*>是可分的,P<'*>是E<'*>中正規(guī)錐,假設(H<,1>),(H<,2>)成立,并且M ≤ 1,那么存在單調(diào)序列{w<,n>(t)},{v<,n>(t)},使得lim<,n→∞> v<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞> w<,n>(t)=γ(t),在I上依E<'*>中范數(shù)一致成立.ρ

10、,γ分別是PBVP(2.1.1),(2.1.2)在[w<,0>,v<,0>]上的最大,最小解.該章最后一節(jié)考慮非正常邊值條件下解的存在性.看一下這一節(jié)中的假設條件:(B<,0>)α,β∈C<'2>[I,E<'*>],α(t)≤β(t),t∈I,對α(t)≤u<,2>(t)≤u<,1>(t)≤β(t),t∈I,f(t,u<,1>)-f(t,u<,2>)≥-M<'2>(u<,1>-u<,2>).(B<,1>)(i)-α″≤f(t,α),t∈

11、I,α(0)=α(1),α′(0)≥α′(1);(ii)-β″≥f(t,β),t∈I,β(0)=β(1),β′(0)≤β′(1);(B<,2>)(i)α(0)=α(1),α′(0)<α′(1)-α"≤f(t,α)-M<'2>rα,t ∈I,r<,α>=[α′(1)-α′(0)](e<'M>+1)/2M(e<'M>-1).(ii)β(0)=β(1),β′(0)>β′(1)-β″≥f(t,β)-M<'2>r<,β>,t∈I,r<,β>=[β

12、′(0)-β′(1)](e<'M>+1)/2M(e<'M>-1).(B<,3>)(B<,1>)(i)和(B<,2>)(ii).(B<,4>)(B<,1>)(ii)和(B<,2>)(i).比較條件(B<,1>)(B<,2>),我們看到(B<,2>)中邊值條件與(B<,1>)相反,但是我們加強了其他條件.條件(B<,2>)常被稱為非正常邊值條件.仍然運用單調(diào)迭代方法和半序方法,得到以下主要結論:定理2.4.1設E<'*>是可分的,P<'*>