分數(shù)階對流-擴散方程的基本解和數(shù)值方法.pdf

1、分數(shù)階微分方程的特點是含有非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，能非常有效的描述各種各樣的物質(zhì)的記憶和遺傳性質(zhì)，在物理，數(shù)學(xué)，機械工程，生物，電子工程，控制理論和金融等領(lǐng)域發(fā)揮越來越重要的作用。各種分數(shù)階模型與無秩序的動力系統(tǒng)有著緊密的聯(lián)系。物理學(xué)中的反常擴散最初是從隨機游走模型中發(fā)展得來的。分數(shù)階對流—擴散方程是模擬各種反常擴散現(xiàn)象的有力工具。分數(shù)階對流—擴散方程是分數(shù)階動力方程的一部分，方程中可以含有空間和時間的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子。本文分別討論時間、空間、空間

2、—時間的分數(shù)階對流—擴散方程。文中所涉及的空間分數(shù)階導(dǎo)數(shù)均為Riesz空間分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，它含有雙側(cè)的Riemann—Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)。Riesz空間分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的一個顯著優(yōu)點是適用于高維空間。 本文主要由下面幾個部分組成。 首先，引言部分介紹了分數(shù)階微積分的發(fā)展歷史和已有的一些重要成果。然后介紹分數(shù)階微積分的一些預(yù)備知識，給出了分數(shù)階微積分一些基本定義和性質(zhì)。 其次，第二章從時間分數(shù)階擴散方程出發(fā)，提出一

3、顯式守恒差分近似，進行穩(wěn)定性與收斂性分析。將得到的結(jié)果推廣到時間分數(shù)階對流一擴散方程，對時間分數(shù)階對流—擴散方程的顯式守恒差分近似，用數(shù)學(xué)歸納法進行穩(wěn)定性與收斂性分析，并用質(zhì)點的隨機游走來解釋。實踐證明，隨機游走是解釋許多自然科學(xué)學(xué)科中隨機過程的強有力的模型。 第三章考慮Riesz空間分數(shù)階對流—擴散方程。這一章包含三部分內(nèi)容。首先考慮初值問題。利用Laplace和Fourier變換得到Riesz空間分數(shù)階對流—擴散方程初值問題

4、的基本解。用格林函數(shù)表示基本解，并對其進行概率解釋。再利用Riemann—Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)與Grünwald—Letnikov分數(shù)階導(dǎo)數(shù)之間的等價關(guān)系，構(gòu)造一顯式有限差分近似，這一離散格式可以解釋為一個隨機游走模型，并且收斂于穩(wěn)定的概率分布。第二部分考慮初邊值問題，基于Riesz空間分數(shù)階導(dǎo)數(shù)可以表示為拉普拉斯算子冪次方這一特點，借助于矩陣轉(zhuǎn)換技巧與分數(shù)階行方法求此方程的數(shù)值解，利用特征函數(shù)的性質(zhì)與Laplace變換相結(jié)合求

5、出其新的解析解，再對這兩種解進行比較。最后，進一步討論了初邊值問題的有限差分近似，構(gòu)造顯式和隱式兩種差分近似，并進行了誤差分析。 第四章中考慮Riesz空間—時間分數(shù)階對流—擴散方程。首先考慮初值問題。利用Laplace和Fourier變換得到Riesz空間—時間分數(shù)階對流—擴散方程初值問題的基本解。用格林函數(shù)表示此基本解，對其進行概率解釋。利用Riemann—Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)與Grünwald—Letnikov分數(shù)

6、階導(dǎo)數(shù)之間的等價關(guān)系，構(gòu)造一顯式有限差分近似，這一離散格式可以解釋為一個隨機游走模型。然后討論初邊值問題。構(gòu)造顯式和隱式兩種有限差分近似，進行了誤差分析。由于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性結(jié)構(gòu)，使得計算分數(shù)階微分方程的數(shù)值方法需要比整數(shù)階花費更多的計算時間和存儲要求。因此，在文中最后部分，我們提出了提高計算精度的Richardson外推法和減少計算量的“short—memory”原則，以此來改進我們的數(shù)值方法。 在每一章中，均給出數(shù)值例子