高維空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的高階數(shù)值方法研究及其應(yīng)用.pdf

1、本文主要針對高維反常擴(kuò)散方程設(shè)計(jì)和分析高精度的數(shù)值格式，并應(yīng)用于具有實(shí)際應(yīng)用背景的模型問題的計(jì)算。具體內(nèi)容如下:
　　第一章，概述了整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的研究現(xiàn)狀，從隨機(jī)游走模型出發(fā)簡要介紹了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的物理背景，陳述了本文的研究動(dòng)機(jī)和主要內(nèi)容，并給出一些相關(guān)的預(yù)備知識。
　　第二章，研究高維空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程方向分裂譜方法，提出一個(gè)基于空間譜方法的方向分裂格式。新方法的基本思想是在時(shí)間上采用方向分裂格式以及在空間上采

2、用譜方法，主要優(yōu)點(diǎn)是每個(gè)時(shí)間步只需要求解一系列一維空間問題，比直接計(jì)算高維問題節(jié)省可觀的計(jì)算量，從而提高計(jì)算效率。我們對算法作了先驗(yàn)誤差分析，證明了全離散格式的穩(wěn)定性。最后通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析結(jié)果。
　　第三章，研究空間分?jǐn)?shù)階相場模型的算法設(shè)計(jì)和分析。本章考慮相場模型的一種帶分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)的齊次Neumann邊界條件，該邊界條件在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)趨于2時(shí)，與傳統(tǒng)的整數(shù)階相場模型的邊界條件等價(jià)。在文中，我們構(gòu)造了一個(gè)方向分裂譜方

3、法，證明全離散問題的穩(wěn)定性，給出數(shù)值解的先驗(yàn)誤差估計(jì)，并且提供實(shí)際算例以驗(yàn)證數(shù)值分析的正確性。在實(shí)際算例中我們還考察了亞穩(wěn)分解模型，發(fā)現(xiàn)當(dāng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越來越小時(shí)亞穩(wěn)的現(xiàn)象越來越明顯。
　　第四章，提出并分析了一種擴(kuò)散方程的新型空間譜元法/方向分裂時(shí)間離散格式。我們給出新算法的最優(yōu)空間誤差估計(jì)，并且推導(dǎo)擴(kuò)散方程時(shí)空全離散的穩(wěn)定性，然后通過數(shù)值例子驗(yàn)證了理論分析結(jié)果。由于方向分裂格式將高維問題轉(zhuǎn)化為一系列一維子問題，我們得以設(shè)計(jì)并