PIM整環(huán)上一元多項式環(huán)的素理想和極大理想.pdf

1、多項式環(huán)在交換環(huán)理論研究中占有重要的地位，素理想和極大理想又是交換環(huán)中最重要的兩個特殊類型的理想，人們對于多項式環(huán)中理想的研究從未間斷，并取得了一些研究成果：1981年-1982年，Bouvier和Doering研究了多項式環(huán)上的素理想和素理想鏈的構造；1988年，聶靈沼、丁石孫在他們的著作中討論了整數(shù)環(huán)上一元多項式環(huán)的素理想和極大理想，給出了素理想的分類；1990年，F(xiàn)errero研究了多項式環(huán)上的素理想和閉主理想的構造及其性質；19

2、97年，F(xiàn)errero研究了n元多項式環(huán)上的素理想，給出了素理想的一種構造方法.本文在前人研究的基礎上，進一步深入研究和充實，討論一類特殊主理想整環(huán)上一元多項式環(huán)的素理想和極大理想.
　　 設R是主理想整環(huán).若R有無窮多個極大理想，則稱R是PrincipalIdealMaximal整環(huán)，簡稱為PIM整環(huán).設x是PIM整環(huán)R上的未定元，R[x]是R上的一元多項式環(huán).本文主要研究PIM整環(huán)R上的一元多項式環(huán)R[x]的素理想和極大理想

3、.
　　 在第一章中，我們回顧了本文的研究背景，敘述了本文的研究思路，以及本文需要的一些基本概念和基本理論，主要介紹了環(huán)的素理想和極大理想，一元多項式環(huán)，整環(huán)，唯一分解不的多項式擴張等概念及其基本性質.
　　 在第二章中，我們依據(jù)整環(huán)的基本理論和唯一分解環(huán)的結構理論，研究了R[x]的素理想和極大理想.我們推證了R[x]的任一主理想都不是極大理想，給出了構造R[x]的極大理想的一種方法，得到了R[x]的素理想是極大理想的條

4、件，并最終確定了R[x]中素理想和極大理想的分類.得到了如下結論：零理想是素理想但非極大理想；由素元或不可約元生成的主理想是素理想，這一類素理想非極大理想；由R中的不可約元p和R[x]中模(p)不可約且首項系數(shù)與p互素的多項式f(x)生成的理想(p，f(x))，既是素理想又是極大理想.
　　 在第三章中，我們將第二章的結論應用于兩類特殊的PIM整環(huán)，即整數(shù)環(huán)Z和高斯整數(shù)環(huán)Z[i]上，分別研究了Z[x]和Z[i][x]的素理想和極