再生核空間中某些數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題的數(shù)值解法.pdf

1、數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題來(lái)源于社會(huì)與科技發(fā)展的驅(qū)動(dòng)。近三十年來(lái),數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題發(fā)展非常迅速,廣泛應(yīng)用于能源科學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、環(huán)境科學(xué)和信號(hào)處理等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。在數(shù)值模擬計(jì)算中,能否獲得精度適當(dāng)?shù)臄?shù)值解主要取決于所用的數(shù)值方法。因此,尋求一種運(yùn)算精度高、計(jì)算量少、收斂性好和穩(wěn)定性強(qiáng)的數(shù)值方法顯得尤其重要。由于再生核在數(shù)值計(jì)算上具有良好的性質(zhì),它已經(jīng)成為函數(shù)逼近的重要工具。近年來(lái),再生核理論發(fā)展十分迅速,已經(jīng)被成功地應(yīng)用到小波變換、信號(hào)處理、隨機(jī)過(guò)程、

2、虹膜識(shí)別、機(jī)器改進(jìn)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等研究領(lǐng)域中。
　　本文主要研究再生核空間中某些數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題的數(shù)值解法,其優(yōu)勢(shì)在于:
　　(1)構(gòu)造出更簡(jiǎn)單的再生核,因此在進(jìn)行數(shù)值模擬運(yùn)算時(shí),能夠減少累計(jì)誤差,從而大大減少運(yùn)行時(shí)間,提高運(yùn)算精度。
　　(2)改進(jìn)了原有的方法,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解問(wèn)題,避開(kāi)了Gram-Schmidt正交化的運(yùn)算過(guò)程。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明可以減少運(yùn)行時(shí)間,提高運(yùn)算精度。
　　(3)獲得的數(shù)值解在整個(gè)

3、求解區(qū)間內(nèi)整體近似,而且方程的近似解及其各階導(dǎo)數(shù)分別一致收斂到方程的精確解及其各階導(dǎo)數(shù),這有利于進(jìn)一步地分析和探索解的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。
　　本文的主要工作如下:
　　首先,以奇異兩點(diǎn)邊值問(wèn)題為例,給出了再生核空間的構(gòu)造方法,獲得了新的再生核,比原再生核簡(jiǎn)單很多。通過(guò)數(shù)值算例表明采取新的再生核比采取以前的再生核得到的運(yùn)算結(jié)果精度高很多,而且運(yùn)算時(shí)間短很多,進(jìn)一步地豐富和拓展了再生核空間理論。
　　其次,提出了反演熱傳導(dǎo)方程的

4、再生核法,構(gòu)造出適合方程的二元再生核空間,并且在同一個(gè)再生核空間中獲得了方程的精確解表達(dá)式和近似解的求解方法,給出了收斂性證明,拓展了再生核空間理論在反問(wèn)題領(lǐng)域的應(yīng)用。
　　再次,提出了反演帶有超定條件的二維拋物型方程的再生核法,成功地構(gòu)造出三元再生核空間,得到了精確解表達(dá)式和近似解的求解方法,給出了收斂性證明,使得在再生核空間中求解二維、三維、甚至更高維的偏微分方程問(wèn)題成為可能,豐富和拓展了再生核空間理論及其應(yīng)用。
　　最

5、后,提出了反演二維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的再生核法,成功地構(gòu)造出適合方程的三元再生核,獲得了精確解表達(dá)式和近似解的求解方法,給出了收斂性證明,使得用再生核法反演二維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程成為可能,進(jìn)一步地豐富和拓展了再生核空間的應(yīng)用范圍。
　　總之,再生核空間是進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算的比較理想的空間。本文分別針對(duì)奇異兩點(diǎn)邊值問(wèn)題、熱傳導(dǎo)方程的反演源問(wèn)題、帶有超定條件的二維拋物型反演源問(wèn)題和二維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的反演源問(wèn)題,構(gòu)造出適當(dāng)?shù)脑偕丝臻g,使得數(shù)值