擬共形映照及其在調(diào)和映照中的應(yīng)用.pdf

1、擬共形映照理論是復(fù)分析領(lǐng)域中一個非常重要的分支，而且交叉滲透到微分幾何、偏微分方程、拓撲學(xué)等其它數(shù)學(xué)學(xué)科中，同時廣泛應(yīng)用于彈性理論、流體動力學(xué)、自動化工程學(xué)，動力系統(tǒng)和生物學(xué)等應(yīng)用學(xué)科.因此研究擬共形映照理論及其應(yīng)用具有重要的意義。本文旨在研究擬共形映照的極值理論和擬共形映照在調(diào)和映照中的應(yīng)用。首先，對唯一極值的Beltrami系數(shù)，我們給出了判別截尾所誘導(dǎo)的Te-ichmüller等價類為Strebel點的一個充要條件，并利用它提供了

2、Hamilton序列的一種構(gòu)造方法；而且通過截尾型的Beltrami系數(shù)給出了一個充分條件用于判別由Lowner方程決定的擬共形映照和擬共形形變兩者的極值性是等價的。其次，通過研究C2-Teichmüller映照的調(diào)和性，證明了在C2-Teichmüller映照類中不存在Schoen猜想的解.然后，針對調(diào)和擬共形映照的具體問題分別建立了相應(yīng)的微分方程，證明了奇的C2類擬對稱同胚的Beurling-Ahlfors延拓不是Schoen猜想的

3、解；以及上半平面到自身上的π調(diào)和擬共形映照的逆只有共形映照是Schoen猜想的解等結(jié)果。文章分為五個部分： 第一章是本文的緒論。從擬共形映照的起源，定義，性質(zhì)、和應(yīng)用四個方面簡要地介紹了擬共形映照的歷史背景和研究意義，并闡述了本文研究問題的由來和現(xiàn)狀以及主要結(jié)果。 第二章研究擬共形映照的一些極值問題.我們給出了一個充要條件用于判別由唯一極值Beltrami系數(shù)誘導(dǎo)的截尾α的Teichmüller等價類[α]是否是T中的一

4、個Strebel點；同時也得到了判別α的唯一極值性的充要條件.利用截尾的這些性質(zhì)我們提供Hamilton序列的一種構(gòu)造方法；給出了擬共形形變F(w，t)的極值性等價于由Lowner方程確定的擬共形映照解f(z，t)的極值性的一個充分條件.另外，無限小極值情形下的一些對應(yīng)結(jié)果也被給出。 第三章研究Teichmüller映照與調(diào)和映照的關(guān)系。給出了一個C2-Teichmüller映照為ρ調(diào)和的充要條件.利用這個結(jié)果我們證明了在C2-

5、Teichmüller映照類中不存在Schoen猜想的解；另外我們還獲得π調(diào)和映照的兩個特征。 第四章研究Beurling-Ahlfors延拓和調(diào)和映照的關(guān)系。首先給出了Beurling-Ahlfors延拓是關(guān)于雙曲度量調(diào)和的一個必要條件.特別地，若邊界對應(yīng)h是C2和奇的，則其Beurling-Ahlfors延拓不是關(guān)于雙曲度量調(diào)和的。其次，證明了若h是分段C2的則其Beurling-Ahlfors延拓不是π調(diào)和的除非h(x)=