曲率流下soliton的幾何性質(zhì)與分類.pdf

1、在微分幾何中，怎樣在一定的曲率條件下去了解給定流形的拓?fù)涫且粋€(gè)重要的問題。在1982年，Hamilton引進(jìn)一個(gè)重要的工具：Ricci流。近年來(lái)，Ricci流理論在微分幾何的發(fā)展中發(fā)揮了重要的作用。
　　 本文首先考慮的是梯度Ricci soliton的完備性問題。眾所周知，自相似解是奇性解的重要模型。而另一方面，對(duì)于梯度Ricci soliton的理解也將很好的幫助我們?nèi)ダ斫釸icci流的奇點(diǎn)。我們的第一個(gè)結(jié)果就是證明了梯度R

2、icci soliton的完備性。這個(gè)結(jié)果意味著自相似解和梯度Ricci soliton的等價(jià)性。
　　 在本文的第二部分，我們主要考慮Hamilton-Ivey拼擠估計(jì)在高維流形上的推廣。在Ricci流理論中，一個(gè)核心的課題就是理解奇點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。而我們知道，3維流形上成立的Hamilton-Ivey拼擠估計(jì)在奇點(diǎn)的分類中發(fā)揮了重要的作用。因此，一個(gè)重要的問題是怎么將Hamilton和Ivey的工作推廣到高維情形。但是，Koiso

3、造出的一個(gè)例子告訴我們，并不是在所有高維流形上都能成立這個(gè)拼擠估計(jì)的。盡管如此，我們的第二個(gè)結(jié)果證明了一個(gè)具有有界曲率的流形上，如果其Ricci流的解總是局部共形平坦的，那么Hamilton-Ivey拼擠估計(jì)成立。
　　 在本文的最后部分，我們給出了局部共形平坦的收縮梯度soliton的完全分類。在Poincaré猜想和Thurston幾何化猜測(cè)的證明中，關(guān)于3維的收縮梯度soliton的分類定理是非常重要的。近年來(lái)，許多的工作