關(guān)于一個(gè)非線性光子晶格模型穩(wěn)態(tài)解的研究.pdf

1、這篇碩士學(xué)位論文討論的是一種非線性光子晶格模型的穩(wěn)態(tài)解.這種模型的微分方程組呈下面形式
　?。鹖Ut+ΔU=PU/1+|U|2+|V|2,(0.1)iVt+ΔV=QV/1+|U|2+|V|2,其中U(t,x),V(t，x)是定義在R+×R/(τ1Z)×R/(τ2Z)上的復(fù)值函數(shù)，τ1，τ2∈R+。模型(0.1)的穩(wěn)態(tài)解是滿足
　　｛ U（t,x）=eiλtu（x），V(t，x)=eiλtv(x)，的解。在這種情況下u(x)，

2、v（x）滿足下述方程組:
　　｛Δu=Pu/1+|u|2+|v|2+λu，(0.2)Δv=Qv/1+|u|2+|v|2+λv，其中u，v是定義在R/(τ1Z)×R/（τ2Z）上的實(shí)值函數(shù)。
　　當(dāng)v=0時(shí)，方程組就變?yōu)橐粋€(gè)方程Δu=Pu/1+|u|2+λu.(0.3)
　　論文分四部分，在第一部分，我們介紹這個(gè)非線性光子晶格模型的相關(guān)研究背景和進(jìn)展以及本文的主要結(jié)果。
　　在第二部分，我們證明了方程(0.3)在某

3、種條件下僅有常數(shù)解.并且證明在某種條件下方程組(0.2)也只有常數(shù)解，換句話說(shuō)在某種條件下，模型(0.1)只有與空間變量x無(wú)關(guān)的穩(wěn)態(tài)解。
　　在第三部部分中，我們得到了方程(0.3)有非常數(shù)解的條件.通過(guò)利用在Nehari流形上做山路解的方法，證明了模型(0.1)有與空間變量x相關(guān)的穩(wěn)態(tài)解。
　　最后，在第四部分，我們利用隱函數(shù)定理討論了方程(0.3)的擾動(dòng)方程Δu=Pu/1+|u|2+εv(x)+λu.(0.4)解的存在性