扭曲乘積流形的幾何及其五個應(yīng)用.pdf

1、本學位論文主要目的是討論扭曲乘積流形上諸如黎曼聯(lián)絡(luò)（列維-奇維塔聯(lián)絡(luò)）、黎曼曲率張量、截面曲率、里奇曲率和數(shù)量曲率等幾何結(jié)構(gòu)，并結(jié)合這些工具研究一些特定主題的相關(guān)應(yīng)用。首先，通過單或雙扭曲乘積度量的誘導下，我們分別逐步推演出相應(yīng)的黎曼聯(lián)絡(luò)、(1，3)型黎曼曲率張量、(0，4)型黎曼曲率張量、截面曲率、里奇曲率和數(shù)量曲率這五種統(tǒng)一表達公式，見第二章。有了這些統(tǒng)一公式之后，我們便著手考慮以下五個方面的應(yīng)用:
　　1.以已知的聯(lián)絡(luò)統(tǒng)一公

2、式為載體，討論了以雙扭曲乘積流形M×(μ,λ)N為初始空間或目標空間的一些特殊映射成為f-調(diào)和映射的行為特征。在這方面，我們獲得一些結(jié)論，還構(gòu)造了具有非平凡的f-調(diào)和映射的例子。見第三章。
　　2.運用列維-其維塔聯(lián)絡(luò)和(1，3)型黎曼曲率的統(tǒng)一表達公式，我們討論了以單扭曲乘積流形M×λN為初始空間或目標空間的一些特殊映射成為雙f-調(diào)和映射的行為特征。我們回顧了通過雙f-能量泛函1/2∫M|τf(φ)|2 dvg的第一變分來獲取雙

3、f-張力場和一些性質(zhì)，之后給出了一些有關(guān)雙f-調(diào)和映射的結(jié)論。見第四章。
　　3.將里奇曲率張量的統(tǒng)一公式嵌入到以單扭曲乘積流形為基底的里奇流和雙曲幾何流當中，我們聚焦于保持流類型的問題，即當?shù)谝灰蜃恿餍危∕,g）和第二因子流形(N,h)是里奇流（或雙曲幾何流）的解時，單扭曲乘積流形M×λN還是里奇流（或雙曲幾何流）的解。我們得出了一些特征偏微分方程，同時構(gòu)造了一些簡單實例。見第五章。
　　4.同應(yīng)用三的研究工具（統(tǒng)一公式）

4、和背景，我們討論了在里奇流抑或雙曲幾何流作用下單扭曲函數(shù)λ和里奇曲率張量等的演化方程。我們獲得了一些有趣的結(jié)論，尤其是在第二因子添加愛因斯坦流的附加條件下，更是如此。見第六章。
　　5.在已構(gòu)建好的單和雙扭曲乘積流形上截面曲率的統(tǒng)一表達公式中，令M=N=S2，我們走進霍普夫猜想，該猜想陳述為四維乘積流形S2×S2不容許有截面曲率處處嚴格正的黎曼度量。我們量化了所有由單或雙扭曲乘積度量誘導出來的截面曲率，并分析了它們?nèi)≌档那樾?。?/p>

5、們得到的結(jié)果提供了支持霍普夫猜想的證據(jù)。見第七章。
　　在以上五個方面的應(yīng)用當中，保持流類型條件和兩種扭曲乘積度量挺進霍普夫猜想是本文最大的兩個亮點，它們充分展示了我們經(jīng)過復雜推演出來的里奇曲率和截面曲率這兩個統(tǒng)一公式的妙用。
　　最后，我們提出了一些我們考慮在做或認為具有研究前景的問題，其中有我們構(gòu)造命名的超雙扭曲度量和陳邦彥引進的卷積度量，在第七章末節(jié)我們已給出了它們對應(yīng)的度量矩陣的具體表達式。這兩個新度量或許會成為我們