低扭曲幾何映射的研究.pdf

1、隨著三維數(shù)據(jù)采集技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字幾何數(shù)據(jù)成為繼聲音、圖像和視頻之后的新媒體形式，并在曲面造型、計算機動畫與視覺、地理信息系統(tǒng)、物理仿真、虛擬現(xiàn)實、科學計算的可視化等領(lǐng)域有著廣泛的應用。本文的研究是基于三角網(wǎng)格曲面這一基本的幾何數(shù)據(jù)。在計算機圖形學、計算機視覺和醫(yī)學圖像處理等領(lǐng)域，尋找曲面間的低扭曲幾何映射一直是一個重要的基本性問題。其中，曲面參數(shù)化和曲面注冊就是其中的兩個重要技術(shù)。隨著數(shù)字幾何處理的發(fā)展及曲面微分幾何在計算機科學中的廣泛

2、應用，越來越多基于低扭曲幾何映射的工程技術(shù)難題被解決。本文以三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，圍繞低扭曲幾何映射問題，對低扭曲的球面參數(shù)化及平面網(wǎng)格上低扭曲映射進行研究。
　　對于虧格為0的封閉三角網(wǎng)格曲面，我們提出了一種盡可能保剛性的球面參數(shù)化方法（ARAP方法）。該方法是平面域上盡可能保剛性參數(shù)化在球面域的推廣。我們的目標是尋找一個具有最優(yōu)半徑的球面網(wǎng)格，使得每個三角形都能盡量保剛性地映射到該球面上。通過分析二維及三維空間連續(xù)和離散的ARA

3、P能量，給出基于ARAP能量的球面參數(shù)化的優(yōu)化模型。該模型的求解涉及到一個帶有非線性約束的二次規(guī)劃優(yōu)化問題。針對該問題，我們提出了有效的兩步迭代算法，包括局部/全局算法更新球面頂點坐標和迭代更新半徑。該方法克服了以往方法僅僅優(yōu)化角度扭曲或者面積扭曲的缺點，直接優(yōu)化剛性（長度）扭曲。實驗結(jié)果表明，與現(xiàn)有方法比較，該方法具有最好的保持三角形剛性的能力。
　　對于虧格為0的封閉三角網(wǎng)格曲面，我們提出了一種低度量扭曲的有效球面參數(shù)化方法（

4、BLD方法），包括保角度和保長度兩類。以往的方法要么不能控制最大度量扭曲，要么不能保證球面參數(shù)化的有效性。針對這些不足，我們提出了一種基于AMIPS能量優(yōu)化的球面參數(shù)化模型。給定一個初始的有效參數(shù)化，即使初始的扭曲比較大，我們通過求解一個帶有非線性約束的非線性優(yōu)化問題來逐步改進它，懲罰參數(shù)化過程中最大扭曲的同時，保證優(yōu)化過程中三角形不出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)。為了有效地求解該優(yōu)化問題，我們設計了一種基于參數(shù)動態(tài)調(diào)整的不精確Block Coordinat

5、e Descent方法的迭代優(yōu)化算法，得到了最優(yōu)半徑球面上的低扭曲的有效球面參數(shù)化。實驗結(jié)果表明，無論是在幾何簡單還是復雜的模型上，該方法得到的球面參數(shù)化結(jié)果均能在保證雙射的基礎(chǔ)上，具有最低的最大扭曲和平均扭曲。此外，數(shù)值實驗表明，該方法快速、有效，不依賴于初值，且對參數(shù)的選擇不敏感。
　　對于圖像特征點匹配問題，我們通過構(gòu)造平面網(wǎng)格上低扭曲映射的方法來尋找兩張圖像之間具有幾何一致性的特征點對應。輸入是由SIFT算法[1]得到的含

6、有噪音的若干圖像特征點對應，我們希望能從含有大量噪音的特征點對應中尋找出盡可能多的具有幾何信息的對應點。針對該問題，我們提出了基于擬共形映射函數(shù)空間的過濾方法，將該問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于Beltrami系數(shù)和擬共形映射函數(shù)的帶約束的優(yōu)化問題，并提出了一種基于變量分離方法和迭代最小二乘方法的有效迭代算法。在每一步的迭代中，我們要求解兩個子問題:關(guān)于擬共形映射函數(shù)的稀疏線性系統(tǒng)求解問題和關(guān)于Beltrami系數(shù)的帶有線性約束的凸二次規(guī)劃問題。為了衡